Enunciado

Considere o sistema de equações diferenciais lineares

d x 1 d t = a 11 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n ⋮ d x n d t = a n 1 x 1 + a n x 2 + ⋯ + a n n x n

Ele pode ser escrito na forma de uma equação diferencial vetorial d X d t = A X , em que A = a i j n   x   n . Suponha que a matriz A seja diagonalizável, ou seja, suponha que exista uma matriz P tal que

P - 1 A P = D

Em que D = λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 λ n . Mostre que a solução do sistema é

X t = P e λ 1 t 0 ⋯ 0 0 e λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 e λ n t P - 1 X 0 ,   p a r a   t ≥ 0 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão para considerar o sistema de equações diferenciais lineares

d x 1 d t = a 11 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n ⋮ d x n d t = a n 1 x 1 + a n x 2 + ⋯ + a n n x n

Ele pode ser escrito na forma de uma equação diferencial vetorial d X d t = A X , em que A = a i j n   x   n . Suponha que a matriz A seja diagonalizável, ou seja, suponha que exista uma matriz P tal que

P - 1 A P = D

Em que D = λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 λ n . Mostre que a solução do sistema é

X t = P e λ 1 t 0 ⋯ 0 0 e λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 e λ n t P - 1 X 0 ,   p a r a   t ≥ 0 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

d x 1 d t = a 11 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n ⋮ d x n d t = a n 1 x 1 + a n x 2 + ⋯ + a n n x n

Temos,

P - 1 A P = D , dado

D = λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 λ n   e       X t = P e λ 1 t 0 ⋯ 0 0 e λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 e λ n t P - 1 X 0 ,   p a r a   t ≥ 0

Chegando em,

P - 1 A P = λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 λ n

Ficando,

P - 1 A P = 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

P - 1 A P = 0

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