Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 99
Seja a parábola de equação
Prove que, se o vetor não é paralelo ao eixo da parábola, existe e é única a reta tangente a paralela a . Determine o ponto de tangência e uma equação da reta tangente em função de .
Que condições devem satisfazer as coordenadas de para que ele seja vetor normal a em algum ponto?
Sendo um vetor não-ortogonal ao eixo da parábola, determine a reta tangente a que é ortogonal a , e o respectivo ponto de tangência.
Passo 1
Sabendo que o eixo dessa parábola é o eixo , então para não ser paralelo a basta fazer e aplicando um ponto na equação da parábola (onde é o ponto de tangência, nós descobriremos que para (condição de tangência).
Logo a solução de em função de m e n seria
E como a equação da parábola é:
Logo:
Então o ponto de tangência seria:
E como a equação de uma reta tangente no estilo de é:
Então:
Passo 2
Para que tenha um vetor normal a o valor de não pode ser nulo, isso é ele não pode ser perpendicular ao eixo da parábola.
O vetor normal para uma parábola desse tipo é dada por:
Portanto a condição que encontraríamos com e invertendo o vetor diretor desse vetor diretor, seria:
Então seria:
E como:
Portanto o ponto de tangência seria:
E a equação de uma reta normal é:
Pois invertemos o que seria e , então podemos usar essa equação:
Isso será: