Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 89
Sejam um ponto da hipérbole e e os pontos em que a reta tangente a hipérbole em intercepta as assíntotas.
Escreva as coordenadas de e em termos de e
Mostre que é o ponto médio de
Prove que todos os paralelogramos cujos vértices pertencem as assíntotas de e que têm dois lados contidos em retas tangentes a hipérbole têm áreas iguais a (não por acaso, esta é a área do retângulo fundamental: ele é um desses paralelogramos)
Passo 1
A equação da reta tangente a hipérbole será:
E como o eixo maior é o horizontal então a equação das retas assíntotas serão:
Considerando estando na reta com coeficiente angular negativo nós teremos:
E o para será:
Logo como será com negativo (já que a questão não fala nada sobre então:
Passo 2
E para onde consideraremos o coeficiente positivo para a equação da assíntota nós teremos:
E o valor de para
Portanto o ponto será igual a:
Passo 3
Para encontrar o ponto médio entre dois pontos basta fazer:
Então:
Fazendo essa continha:
Só que da equação da hipérbole no ponto podemos tirar que:
Então:
Cortando tudo que tem direito:
Que é o ponto
Passo 4
Se um vértice está na hipérbole o outro vértice também estará, e se um vértice esta na reta tangente logo o outro também estará, considerando como na parte e e iguais a e , então a área será calculada por:
Fazendo a multiplicação vetorial nós teremos:
Só que:
Logo substituindo no valor da área:
Porém o módulo dessa área é sim de , se pegarmos qualquer vetor formado entre os pontos do paralelogramo acharemos a mesma área. E esse valor de área independe do ponto de tangência.