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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 89

Sejam T = ( h , k ) um ponto da hipérbole H : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e A e B os pontos em que a reta tangente a hipérbole em T intercepta as assíntotas.

( a ) Escreva as coordenadas de A e B em termos de a , b , h e k

( b ) Mostre que T é o ponto médio de A B

( c ) Prove que todos os paralelogramos cujos vértices pertencem as assíntotas de H e que têm dois lados contidos em retas tangentes a hipérbole têm áreas iguais a 4 a b (não por acaso, esta é a área do retângulo fundamental: ele é um desses paralelogramos)

Passo 1

A equação da reta tangente a hipérbole será:

h x a 2 - k y b 2 = 1

E como o eixo maior é o horizontal então a equação das retas assíntotas serão:

y = ± b a x

Considerando A estando na reta com coeficiente angular negativo nós teremos:

h x a 2 + k b x a b 2 = 1

x h a 2 + k b a b 2 = 1

x h b 2 + k a b a 2 b 2 = 1

x = a 2 b 2 h b 2 + k a b = a 2 b h b + k a

E o y para A será:

y = - b a ⋅ a 2 b h b + k a = - a b 2 h b + k a  

Logo como A será com y negativo (já que a questão não fala nada sobre então:

A = a 2 b h b + k a ,   - a b 2 h b + k a  

Passo 2

E para B onde consideraremos o coeficiente positivo para a equação da assíntota nós teremos:

h x a 2 - k b x a b 2 = 1

x h a 2 - k b a b 2 = 1

x h b 2 - k a b a 2 b 2 = 1

x = a 2 b 2 h b 2 - k a b = a 2 b h b - k a

E o valor de y para b

y = b a   x = b a ⋅ a 2 b h b - k a = a b 2 h b - k a

Portanto o ponto B será igual a:

B = a 2 b h b - k a ,   a b 2 h b - k a

Passo 3

Para encontrar o ponto médio entre dois pontos basta fazer:

M = x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2

Então:

M = a 2 b h b + k a + a 2 b h b - k a 2 , - a b 2 h b + k a + a b 2 h b - k a 2

Fazendo essa continha:

M = a 2 b ( h b + k a + h b - k a ) 2 ( h b + k a ) ( h b - k a ) , a b 2 ( - h b + k a + h b + k a ) 2 ( h b + k a ) ( h b - k a )

M = a 2 b ( 2 h b ) 2 ( h 2 b 2 - k 2 a 2 ) , a b 2 ( 2 k a ) 2 ( h 2 b 2 - k 2 a 2 )

Só que da equação da hipérbole no ponto ( h , k ) podemos tirar que:

h 2 a 2 - k 2 b 2 = 1

b 2 h 2 - a 2 k 2 = a 2 b 2

Então:

M = a 2 b 2 ( 2 h ) 2 ( a 2 b 2 ) , a 2 b 2 ( 2 k ) 2 ( a 2 b 2 )

Cortando tudo que tem direito:

M = ( h , k )

Que é o ponto T

Passo 4

Se um vértice está na hipérbole o outro vértice também estará, e se um vértice esta na reta tangente logo o outro também estará, considerando A   e   B como na parte A e C e D iguais a ( h , k ) e ( - h , - k ) , então a área será calculada por:

A = A B → × C D →

A B → = B - A = - a 2 b 2 k a h 2 b 2 - k 2 a 2 , a b 2 ( - 2 h b ) h 2 b 2 - k 2 a 2

A B → = B - A = - 2 k a b , ( - 2 h b ) a

C D → = D - C = ( - 2 h , - 2 k )

Fazendo a multiplicação vetorial nós teremos:

det ⁡ i ^ j ^ k ^ - 2 a k b - 2 b h a 0 - 2 h - 2 k 0

A = 4 a k 2 b - 4 b h 2 a k ^

Só que:

h 2 a 2 - k 2 b 2 = 1

h 2 = a 2 + a 2 k 2 b 2

h 2 = a 2 1 + k 2 b 2

Logo substituindo no valor da área:

A = 4 a k 2 b - 4 b a 2 1 + k 2 b 2 a

A = 4 a k 2 b - 4 a b 1 + k 2 b 2  

A = - 4 a b + 4 a k 2 b - 4 a k 2 b = - 4 a b

Porém o módulo dessa área é sim de 4 a b , se pegarmos qualquer vetor formado entre os pontos do paralelogramo acharemos a mesma área. E esse valor de área independe do ponto de tangência.

Resposta

a ) A = a 2 b h b + k a ,   - a b 2 h b + k a  

B = a 2 b h b - k a ,   a b 2 h b - k a

b )   P a s s o   2

c )   P a s s o   3

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