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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 16

Seja W a reta de equações paramétricas

x = 2 t ,     y = - t ,     z = 4 t

  1. Encontre uma base de W .
  2. Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .
  3. Use a matriz obtida na parte b para encontrar a projeção ortogonal de um ponto P 0 x 0 , y 0 , z 0 em W .
  4. Encontre a distância entre o ponto P 0 2 , 1 , - 3 e a reta W .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para o item “a” temos que encontrar uma base de W .

A equação padrão da linha é dada por:

x 2 = y - 1 = z 4 = t

Portanto, a base para W é o vetor v = 2 , - 1,4 .

Passo 2

Para o item “b”, temos que encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W . Vamos considerar uma matriz A formada a partir de qualquer base para W :

A = 2 - 1 4

A matriz padrão para a projeção ortogonal é dada por:

P = A A T A - 1 A T

Temos que:

A T A = 2     - 1       4 2 - 1 4

A T A = 21

A sua inversa é dada por:

A T A - 1 = 1 21

Multiplicando pela matriz A , temos que:

A A T A - 1 = 1 21 2 - 1 4

Portanto, a projeção é dada por:

P = A A T A - 1 A T = 1 21 2 - 1 4 2     - 1       4

P = 1 21 4 - 2 8         - 2 1 - 4       8 - 4 16

Passo 3

Para o item “c”, vamos aplicar a matriz de projeção do item “b” para encontrar a projeção ortogonal de um ponto P 0 x 0 , y 0 , z 0 em W :

P P 0 = 1 35 10 15 - 5         15 26 3       - 5 3 34 x 0 y 0 z 0

P P 0 = 4 21 x 0 - 2 21 y 0 + 8 21 z 0 - 2 21 x 0 + 1 21 y 0 - 4 21 z 0 8 21 x 0 - 4 21 y 0 + 16 21 z 0

Passo 4

Para o item “d”, temos que encontrar a distância entre o ponto P 0 2 , 1 , - 3 e a reta W :

A distância entre o ponto P 0 e a projeção aplicada ao ponto P 0 é dada por:

d = P P 0 - × v v

Temos que:

P P 0 - × v = i 2 2       j 1 - 1         k - 3 4

P P 0 - × v = i - 14 - 4 k

Portanto:

d = 1 , - 14 , - 4 | 2 , - 1,4

d = 1 + 196 + 16 21

d = 497 7

Resposta

  1. v = 2 , - 1,4
  2. P = 1 21 4 - 2 8         - 2 1 - 4       8 - 4 16
  3. P P 0 = 4 21 x 0 - 2 21 y 0 + 8 21 z 0 - 2 21 x 0 + 1 21 y 0 - 4 21 z 0 8 21 x 0 - 4 21 y 0 + 16 21 z 0
  4. d = 497 7
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Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = 2 - 1 3 0 1 1 - 1 0 - 2 4 - 5 3
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2 No eixo y z .
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 3 → R 2 No eixo x z .
Prove a implicação b ⇒ a do Teorema 6.4 . 3 .
Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]