Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 10
Suponha que tenha o produto interno euclidiano. Encontre dois vetores unitários que sejam ortogonais a cada um dos três vetores , e .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Sabemos que dois vetores e em um espaço do produto interno são chamados ortogonais se .
Portanto, temos que considerar:
Com .
Vamos encontrar :
Como , temos que:
Esta será nossa primeira equação.
Passo 2
Agora vamos encontrar . Temos que:
Como , temos que:
Esta será nossa segunda equação.
Agora vamos encontrar . Temos que:
Como , temos que:
Esta será nossa terceira equação.
Passo 3
Dadas nossas três equações, podemos construir uma matriz aumentada do sistema para resolvê-lo:
Agora vamos aplicar as operações de linha para resolver:
Somando a segunda linha com a primeira temos:
Agora vamos somar a primeira linha à segunda, depois multiplicar a primeira linha por e somar com a terceira linha.
Vamos multiplicar a segunda linha por .
Agora vamos multiplicar a segunda linha por e somar com a terceira linha:
Podemos então multiplicar a terceira linha por .
Agora vamos multiplicar a terceira linha por e somar com a primeira linha:
Passo 4
Ufa... Conseguimos obter a seguinte matriz:
A partir dela, podemos dizer que:
Vamos considerar que , logo:
E:
Passo 5
A norma unitária deste vetor será:
Resolvendo, temos que:
Portanto:
Portanto, podemos considerar um vetor unitário na direção como sendo:
E um segundo vetor unitário na direção como sendo: