Seja um ponto da hipérbole de focos e e parâmetros geométricos e e seja a reta tangente a em .
- Prove que, se é o ponto simétrico de em relação a , então e são colineares.
- Prove que .
- Sejam um ponto da circunferência de centro e raio e o ponto em que a reta intercepta . Prove que é o ponto simétrico de em relação à reta tangente a em .
- Conclua que o lugar geométrico dos pontos simétricos de em relação às retas tangentes à hipérbole é a circunferência de centro e raio (circunferência diretora do foco ). Por simetria, o resultado permanece válido quando permutamos e .
Passo 1
Veja a figura abaixo:
Passo 2
- Pela propriedade da reflexão, temos o ângulo que reta faz com a reta tangente é o mesmo que faz com a reta tangente (já que ). Dessa maneira, mostra-se que os pontos e são colineares.
- Pela propriedade da elipse, temos que
- Veja a figura
- Essa é a conclusão imediata dos itens anteriores.
Passo 3
Porém, como , segue que . Assim,
Passo 4
Seja a circunferência citada no enunciado. Como , então .
Da parte (a) e (b), sabemos que se é o ponto simétrico de em relação à reta tangente, então e estarão alinhados e . Porém, note na figura acima que e estão alinhados e que . Assim, só nos resta concluir que , ou seja, também é o ponto simétrico.
Passo 5
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)