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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 111

Seja T = h , k um ponto da hipérbole H de focos F 1 = - c , 0 e F 2 = c , 0 e parâmetros geométricos a e b e seja r a reta tangente a H em T .

  1. Prove que, se G é o ponto simétrico de F 2 em relação a r , então G ,   T e F 1 são colineares.
  2. Prove que d F 1 ,   G = 2 a .
  3. Sejam G ' um ponto da circunferência de centro F 1 e raio 2 a e T ' o ponto em que a reta F 1 G ' intercepta H . Prove que G ' é o ponto simétrico de F 2 em relação à reta tangente a E em T .
  4. Conclua que o lugar geométrico dos pontos simétricos de F 2 em relação às retas tangentes à hipérbole é a circunferência de centro F 1 e raio 2 a (circunferência diretora do foco F 1 ). Por simetria, o resultado permanece válido quando permutamos F 1 e F 2 .

Passo 1

Veja a figura abaixo:

Passo 2

  1. Pela propriedade da reflexão, temos o ângulo que reta F 1 T faz com a reta tangente é o mesmo que G T faz com a reta tangente (já que Δ G T E ≡ Δ E F 2 T ). Dessa maneira, mostra-se que os pontos F 1 ,   G e T são colineares.

    2. Passo 3

  2. Pela propriedade da elipse, temos que

    3. F 1 T - F 2 T = 2 a

    Porém, como Δ G T E ≡ Δ T F 2 E , segue que F 2 T = G T . Assim,

    F 1 T - F G = 2 a ⟹ d F 1 , G = 2 a

    Passo 4

  3. Veja a figura

    4. Seja λ a circunferência citada no enunciado. Como G ' ∈ λ , então d F 1 ,   G ' = 2 a .

    Da parte (a) e (b), sabemos que se G é o ponto simétrico de F 2 em relação à reta tangente, então F 1 ,   G e T estarão alinhados e F 1 G = 2 a . Porém, note na figura acima que F 1 ,   G ' e T estão alinhados e que F 1 G ' = 2 a . Assim, só nos resta concluir que G ' = G , ou seja, G ' também é o ponto simétrico.

    Passo 5

  4. Essa é a conclusão imediata dos itens anteriores.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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