Seja T = h , k um ponto da hipérbole H de focos F 1 = - c , 0 e F 2 = c , 0 e parâmetros geométricos a e b e seja r a reta tangente a H em T . Prove que, se G é o ponto simétrico de F 2 em relação a r , então G ,T e F 1 são colineares. Prove que d F 1 ,G = 2 a . Sejam G ' um ponto da circunferência de centro F 1 e raio 2 a e T ' o ponto em que a reta F 1 G ' intercepta H . Prove que G ' é o ponto simétrico de F 2 em relação à reta tangente a E em T . Conclua que o lugar geométrico dos pontos simétricos de F 2 em relação às retas tangentes à hipérbole é a circunferência de centro F 1 e raio 2 a (circunferência diretora do foco F 1 ). Por simetria, o resultado permanece válido quando permutamos F 1 e F 2 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 111

Seja um ponto da hipérbole de focos e e parâmetros geométricos e e seja a reta tangente a em .

Prove que, se é o ponto simétrico de em relação a , então e são colineares.

Prove que .

Sejam um ponto da circunferência de centro e raio e o ponto em que a reta intercepta . Prove que é o ponto simétrico de em relação à reta tangente a em .

Conclua que o lugar geométrico dos pontos simétricos de em relação às retas tangentes à hipérbole é a circunferência de centro e raio (circunferência diretora do foco ). Por simetria, o resultado permanece válido quando permutamos e .

Passo 1

Veja a figura abaixo:

Passo 2

Pela propriedade da reflexão, temos o ângulo que reta faz com a reta tangente é o mesmo que faz com a reta tangente (já que ). Dessa maneira, mostra-se que os pontos e são colineares.

Passo 3

Pela propriedade da elipse, temos que

Porém, como , segue que . Assim,

Passo 4

Veja a figura

Seja a circunferência citada no enunciado. Como , então .

Da parte (a) e (b), sabemos que se é o ponto simétrico de em relação à reta tangente, então e estarão alinhados e . Porém, note na figura acima que e estão alinhados e que . Assim, só nos resta concluir que , ou seja, também é o ponto simétrico.

Passo 5

Essa é a conclusão imediata dos itens anteriores.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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