Demonstre a Proposição 24-27

Passo 1

Bom, primeiramente, não iremos repetir o enunciado da proposição.

Para ambos os casos, sabemos que temos duas superfícies são disjuntas.

Vamos começar provando a letra a) desta proposição, isto é, temos duas superfícies exteriores uma a outra.

A ideia é começar formando um triângulo C_1 C_2 P . Mas quem é P ?

Ele é, simplesmente, um ponto fora de ambas as superfícies. Em outras palavras, sabemos que a distância do ponto ao centro de cada uma das superfícies é maior que o raio da respectiva. Portanto,

d (P , C_1) > rho_1

d (P , C_2) > rho_2

Agora, vamos utilizar a identidade triangular. Portanto, sabemos que:

d (C_1 , C_2) <= d (P , C_1) + d (P , C_2)

Só que demos uma sigla especial para a distância entre os centros da superfície: delta = d (C_1 , C_2) . Portanto,

delta <= d (P , C_1) + d (P , C_2)

Os nossos dados iniciais são duas superfícies esféricas tangentes interiormente S_1 e S_2 tais que delta = d (C_1 , C_2) e rho_2 > rho_1 . Queremos provar que, todo ponto de S_2 (que engloba S_1 ), diferentemente do ponto de tangência, é ponto exterior a S_1 .

O procedimento é bem semelhante ao feito na demonstração da letra a) da Proposição 24-26.

Vamos supor um ponto P qualquer tal que P in S_2 , mas também P != T . Provar que o povo P é exterior a superfície S_1 é encontrar uma relação que diz que a distância do ponto P até o centro desta superfície C_1 é maior que o seu raio rho_1 .

Então, vamos formar um triângulo C_1 C_2 P . Pela propriedade triangular, sabemos que:

d (C_1 , C_2) <= d (P , C_1) + d (P , C_2)

delta <= d (P , C_1) + d (P , C_2)

Só que também sabemos que o ponto P pertence a superfície S_2 . Portanto, d (P , C_2) = rho_2 . Substituindo esta relação, temos:

delta <= d (P , C_1) + rho_2

d (P , C_1) >= delta - rho_2

Só que nós sabemos que as duas superfícies são tangentes interiormente. Pela preposição, temos que delta = rho_2 - rho_1 . Portanto,

d (P , C_1) >= delta - rho_2 = rho_1

Para que tenhamos um sinal de igualdade, o ponto P deve ser o ponto T , o que nós deixamos claros de início que isto não pode ocorrer. Portanto, temos:

d (P , C_1) > rho_1

Como a distância de P até o centro C_1 é maior que o raio desta superfície, significa dizer que todo ponto P in S_2 e diferente de T é ponto exterior a superfície S_1 , provando então a relação pedida!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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