Demonstre a Proposição 24-27

Bom, primeiramente, não iremos repetir o enunciado da proposição.

Para ambos os casos, sabemos que temos duas superfícies são disjuntas.

Vamos começar provando a letra a) desta proposição, isto é, temos duas superfícies exteriores uma a outra.

A ideia é começar formando um triângulo . Mas quem é ?

Ele é, simplesmente, um ponto fora de ambas as superfícies. Em outras palavras, sabemos que a distância do ponto ao centro de cada uma das superfícies é maior que o raio da respectiva. Portanto,

Agora, vamos utilizar a identidade triangular. Portanto, sabemos que:

Só que demos uma sigla especial para a distância entre os centros da superfície: . Portanto,

Os nossos dados iniciais são duas superfícies esféricas tangentes interiormente e tais que e . Queremos provar que, todo ponto de (que engloba ), diferentemente do ponto de tangência, é ponto exterior a .

O procedimento é bem semelhante ao feito na demonstração da letra a) da Proposição 24-26.

Vamos supor um ponto qualquer tal que , mas também . Provar que o povo é exterior a superfície é encontrar uma relação que diz que a distância do ponto até o centro desta superfície é maior que o seu raio .

Então, vamos formar um triângulo . Pela propriedade triangular, sabemos que:

Só que também sabemos que o ponto pertence a superfície . Portanto, . Substituindo esta relação, temos:

Só que nós sabemos que as duas superfícies são tangentes interiormente. Pela preposição, temos que . Portanto,

Para que tenhamos um sinal de igualdade, o ponto deve ser o ponto , o que nós deixamos claros de início que isto não pode ocorrer. Portanto, temos:

Como a distância de até o centro é maior que o raio desta superfície, significa dizer que todo ponto e diferente de é ponto exterior a superfície , provando então a relação pedida!