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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 4

Seja P um ponto interior ao triangulo ABC tal que P A → + P B → + P C → = 0 . Prove que as retas AP, BP e CP são medianas de ABC, logo P é o baricentro desse triângulo.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos definir como Q o ponto de interseção da reta BP com o segmento AC.

Disso podemos observar que:

Q A → =   α C A →

Logo,

Q C → =   Q A → + A C → =   α C A → -   C A → = ( α -   1 ) C A →  

Agora precisamos demonstrar que Q é ponto médio de AC, ou seja, α = 1 2 .

Para isso vamos definir o valor de cada vetor P A → ,     P B →   e   P C → :

P A → =   P Q → + Q A → =   P Q → + α C A →

P B → =   P Q → + Q C → + =   P Q →

A = x a , y a ; B = x b , y b ;   C = x c , y c ;   D = x d , y d ;

Se E é o ponto médio de AB isso significa que:

E = x e , y e = 1 2 ( x a + x b , y a + y b )

De modo análogo, se F é o ponto médio de DC isso significa que:

F = x f , y f = 1 2 ( x d + x c , y d + y c )

Vamos determinar quem é o vetor E F → :

E F → = F - E  

E F → =   1 2 x d + x c , y d + y c -   1 2 ( x a + x b , y a + y b )

E F → =   1 2 x d + x c - x a - x b , y d + y c - y a - y b

Reorganizando os termos:

E F → =   1 2 x d - x a + x c - x b , y d - y a + y c - y b

E F → =   1 2 [ x d - x a , y d - y a + x c - x b , y c - y b ]

Note que:

x d - x a , y d - y a =   A D →         e             x c - x b , y c - y b =   B C →  

Logo,

E F → =   1 2 A D →   + B C →

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Dados os vetores u →=( 1 , - 1,3 ) , v →=( 2,0 , 1 ) e w →=( 3,1 , - 1 ) , determine um vetor x → paralelo a v → e tal que u→ + x → seja paralelo a w → .
No Δ A B C temos A B→ =b → , A C→ =c → , 3 A P→ =2 P C → e B Q→ = λB C → . Determine λ → para que P Q → fique paralelo ao vetor 2 A B→ +A C →+B C → .
Sejam a→ e b→ não paralelos, O A→ =a →- 2b → , O B→ = 2a →- b → e O C→ = ta →+b → . Determine t de modo que tenhamos A C→ / /B C → . Desenhe todos os vetores.
Sendo 3 vec A B + 2 vec B C = vec 0 , prove que vec O A , vec O B e vec O C são l.d. para qualquer O .
Verdadeiro ou falso. Explique. A B →+B C →=A C → implica que A, B e C são colineares.Se os 4 pontos A, B, C, e D são não coplanares, então os vetores A B → e C D → também são não coplanares.Na figura,