Mostre que a reta y = ax + b é tangente à circunferência x² + y² = r² se, e somente se, b² = (1 + a²)r².
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??
Considerando que a reta y = ax + b é tangente à circunferência, vamos escrevê-la da seguinte maneira:
Assim ela toma o formato de equação geral da reta, que é:
Se a reta é tangente a distância dela ao centro da circunferência é igual ao raio, logo pela fórmula da distância entre reta e ponto, temos:
Levando em conta a equação da reta e o centro (0,0) da circunferência, temos que:
Vamos agora buscar evidenciar b dessa equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Exatamente como gostaríamos de demonstrar.
Resposta
Veja a demonstração.