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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 10

Mostre que a reta y = ax + b é tangente à circunferência x² + y² = r² se, e somente se, b² = (1 + a²)r².

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Considerando que a reta y = ax + b é tangente à circunferência, vamos escrevê-la da seguinte maneira:

a x - y + b = 0

Assim ela toma o formato de equação geral da reta, que é:

A x + B y + C = 0

Se a reta é tangente a distância dela ao centro da circunferência é igual ao raio, logo pela fórmula da distância entre reta e ponto, temos:

d r , P = | A x C + B y C + C | A 2 + B ² = r

Levando em conta a equação da reta e o centro (0,0) da circunferência, temos que:

d r , P = | a . 0 - 1.0 + b | a 2 + ( - 1 ) ² = r

Vamos agora buscar evidenciar b dessa equação:

| a . 0 - 1.0 + b | a 2 + ( - 1 ) ² = r

| b | a 2 + 1 = r

| b | = r 1 + a 2

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

b 2 = r 1 + a 2 2

b 2 = r ² ( 1 + a 2 )

Exatamente como gostaríamos de demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a fórmula que aparece no Exercício 39 da seção 12.4 para determinar a distância do ponto à reta dada. ( 1,2 , 3 ) ; x = 2 + t ,y = 2 - 3 t ,z = 5 t
Sejam A = ( 1 ,2 ,5 ) e B = ( 0 ,1 ,0 ) . Determine o ponto P da reta A B tal que P B → = 3 P A → . Este exercício é uma homenagem a Santos Dumont.
Sejam A = ( 1 ,2 ,3 ) e B = ( - 2 ,3 ,0 ) . Escreva equações da reta A B nas formas vetorial, paramétrica e simétrica e obtenha os pontos da reta que distam 2 19 de A .
Sejam A = 1 ,1 ,1 e r : X = 1 ,1 ,4 + λ ( 1 ,- 1 ,0 ) . Obtenha os pontos de r que distam 11 de A . Em seguida verifique se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a 11 e justifique su
Sejam A = 1 ,1 ,1 ,B = ( 0 ,0 ,1 ) e r : X = 1 ,0 ,0 + λ ( 1 ,1 ,1 ) . Determine os pontos de r equidistantes de A e B .