Mostre que a reta y = ax + b é tangente à circunferência x² + y² = r² se, e somente se, b² = (1 + a²)r².

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Considerando que a reta y = ax + b é tangente à circunferência, vamos escrevê-la da seguinte maneira:

a x - y + b = 0

Assim ela toma o formato de equação geral da reta, que é:

A x + B y + C = 0

Se a reta é tangente a distância dela ao centro da circunferência é igual ao raio, logo pela fórmula da distância entre reta e ponto, temos:

d r , P = | A x C + B y C + C | A 2 + B ² = r

Levando em conta a equação da reta e o centro (0,0) da circunferência, temos que:

d r , P = | a . 0 - 1.0 + b | a 2 + ( - 1 ) ² = r

Vamos agora buscar evidenciar b dessa equação:

| a . 0 - 1.0 + b | a 2 + ( - 1 ) ² = r

| b | a 2 + 1 = r

| b | = r 1 + a 2

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

b 2 = r 1 + a 2 2

b 2 = r ² ( 1 + a 2 )

Exatamente como gostaríamos de demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração.

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