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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 4

Sendo 3 vec A B + 2 vec B C = vec 0 , prove que vec O A , vec O B e vec O C são l.d. para qualquer O .

Passo 1

Fala, galera! Para provar que vec O A , vec O B e vec O C são l.d., basta mostrar que um dos vetores é combinação linear dos outros dois. Para isso, vamos escrever vec O B e vec O C em termos de vec O A , vec A B , vec B C e vec O C em termos de vec A B , vec B C e vec O B :

vec O B = vec O A + vec A B => vec A B = vec O B - vec O A

vec O C = vec O B + vec B C => vec B C = vec O C - vec O B

Passo 2

Agora, substituímos esses resultados em 3 vec A B + 2 vec B C = vec 0 :

3 vec A B + 2 vec B C = vec 0 => 3 ( vec O B - vec O A ) + 2 ( vec O C - vec O B ) = 0 => vec O B - 3 vec O A + 2 vec O C = 0

Assim, podemos escrever qualquer um dos três vetores como combinação linear dos outros dois. Por exemplo, podemos ter:

vec O B = 3 vec O A - 2 vec O C

Com isso, mostramos que vec O A , vec O B e vec O C são l.d.

Resposta

Veja a resolução acima

Exercícios de Livros Relacionados

Use a parte ( a ) do Teorema 4.3 . 1 para provar a parte ( b ) .
Utilizando identidades apropriadas, onde necessário, determine quais dos conjuntos de vetores em F ( - ∞ ,∞ ) dados são linearmente dependentes.b) x , cos ⁡ x
Seja A uma matriz n×n e sejam v 1 ,v 2 ,...,v n vetores linearmente independentes em R n expressos como matrizes n×1 . Para ter A v 1 ,A v 2 ,...,A v n linearmente independentes, o que A deve satisfaz
(a)Expresse ( 4 a ,a -b ,a +2 b ) como uma combinação linear de ( 4 ,1 ,1 ) e ( 0 ,- 1 ,2 ) .(b)Expresse ( 3 a +b +3 c ,- a +4 b -c ,2 a +b +2 c ) como uma combinação linear de ( 3 ,- 1 ,2 ) e ( 1 ,4
(a) Expresse v=( 1 ,1 ) como uma combinação linear de v 1=( 1 ,- 1 ) ,v 2=( 3 ,0 ) e v 3=( 2 ,1 ) de duas maneiras distintas.(b) Explique por que isso não contradiz o Teorema 4.4 . 1