Sendo 3 vec A B + 2 vec B C = vec 0 , prove que vec O A , vec O B e vec O C são l.d. para qualquer O .

Passo 1

Fala, galera! Para provar que vec O A , vec O B e vec O C são l.d., basta mostrar que um dos vetores é combinação linear dos outros dois. Para isso, vamos escrever vec O B e vec O C em termos de vec O A , vec A B , vec B C e vec O C em termos de vec A B , vec B C e vec O B :

vec O B = vec O A + vec A B => vec A B = vec O B - vec O A

vec O C = vec O B + vec B C => vec B C = vec O C - vec O B

Passo 2

Agora, substituímos esses resultados em 3 vec A B + 2 vec B C = vec 0 :

3 vec A B + 2 vec B C = vec 0 => 3 ( vec O B - vec O A ) + 2 ( vec O C - vec O B ) = 0 => vec O B - 3 vec O A + 2 vec O C = 0

Assim, podemos escrever qualquer um dos três vetores como combinação linear dos outros dois. Por exemplo, podemos ter:

vec O B = 3 vec O A - 2 vec O C

Com isso, mostramos que vec O A , vec O B e vec O C são l.d.

Resposta

Veja a resolução acima

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