Dados os vetores u →   =   ( 1 , - 1,3 ) , v →   =   ( 2,0 , 1 ) e w →   =   ( 3,1 , - 1 ) , determine um vetor x → paralelo a v → e tal que u   → + x →   seja paralelo a w → .

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem? Como não conhecemos o vetor x → , vamos escrevê-lo da seguinte forma:

x → = ( a , b , c )

Agora, vamos processar as informações do enunciado. A primeira delas é que o vetor x → é paralelo a v → , o que significa que

x → = α   v → ⇒ ( a , b , c ) = α   ( 2,0 , 1 ) = ( 2 α , 0 , α )

Portanto,

a = 2 c = 2 α

b = 0

Assim, vemos que o vetor x → na verdade pode ser escrito como

x → = ( 2 c , 0 , c )

Passo 2

A segunda informação importante é que u   → + x → é paralelo a w → . Então, devemos ter

u   → + x → = β w → ⇒   ( 1 , - 1,3 ) + ( 2 c , 0 , c ) = β   ( 3,1 , - 1 ) ⇒ ( 2 c + 1 , - 1 , c + 3 ) = ( 3 β , β , - β )

Assim, temos que resolver o sistema de equações

2 c + 1 = 3 β

β = - 1

c + 3 = - β = 1 ⇒ c = - 2

Sabendo que c = - 2 , podemos obter o vetor

x → = ( 2 c , 0 , c ) = ( - 4,0 , - 2 )

Resposta

x → = ( - 4,0 , - 2 )

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