Seja a transformação linear dada por A equação chama-se a equação característica da transformação T. As raízes desta equação (se existirem em R) são chamadas os autovalores de T.
- Mostre que o primeiro membro da equação característica é o determinante do sistema
- Conclua que λ é um autovalor de T se, e somente se, existe um vetor não-nulo v tal que T · v = λ · v.
- Mostre que se b = c então T possui autovalores reais.
- Dada a transformação linear onde , encontre vetores não-nulos u e v tais que e
Passo 1
- Fala minha galera, vamos calcular o determinante do sistema, sendo T, a matriz do sistema dado,
- Se então a matriz é simétrica, e de acordo com o teorema, todos os autovalores de uma matriz real simétrica são reais, isto é, as raízes a equação característica de uma matriz real simétrica são todas reais.
- Vamos jogar na fórmula do 23.5, tendo ,
Passo 2
Tendo v igual a v que multiplica a matriz identidade,
Como v é um vetor não-nulo, isto é, então existe um polinômio característico, e dessa forma, é um autovalor.
Passo 3
Passo 4
Então e
Resposta
- Demonstração
- Demonstração
- Demonstração
- e