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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 24

Seja T   :   R 2   →   R 2 a transformação linear dada por T   ( x ,   y )   =   ( a x + b y ,   c x + d y ) . A equação λ 2   -   ( a   +   d ) λ   +   ( a d   -   b c )   =   0 chama-se a equação característica da transformação T. As raízes desta equação (se existirem em R) são chamadas os autovalores de T.

  1. Mostre que o primeiro membro da equação característica é o determinante do sistema

    2.   a x   +   b y   =   λ x  

    c x   +   d y   =   λ y .

  2. Conclua que λ é um autovalor de T se, e somente se, existe um vetor não-nulo v tal que T · v = λ · v.
  3. Mostre que se b = c então T possui autovalores reais.
  4. Dada a transformação linear T :   R 2   →   R 2   , onde T   x ,   y =   2 x + y ,   x + 2 y , encontre vetores não-nulos u e v tais que T u   =   u   e T v   =   3 v .

Passo 1

  1. Fala minha galera, vamos calcular o determinante do sistema, sendo T, a matriz do sistema dado,

    2. d e t d e t   T - λ I   = d e t a - λ   b   c   d - λ   = 0

    = a d - a λ - d λ + λ 2 - b c = 0

    λ 2 - a + d λ + a d - b c = 0

    Passo 2

  2. T = T

    3. T ⋅ v = λ ⋅ v

    Tendo v igual a v que multiplica a matriz identidade,

    T - λ I v = 0

    Como v é um vetor não-nulo, isto é, x , y ≠ 0,0 , então existe um polinômio característico, e dessa forma, λ é um autovalor.

    Passo 3

  3. Se b = c então a matriz é simétrica, e de acordo com o teorema, todos os autovalores de uma matriz real simétrica são reais, isto é, as raízes a equação característica de uma matriz real simétrica são todas reais.

    4. Passo 4

  4. Vamos jogar na fórmula do 23.5, tendo T   x ,   y =   2 x + y ,   x + 2 y ,

Então T e 1 = 2,1 e T e 2 = ( 1,2 )

T u = u = T ( x e 1 ) + T ( y e 2 )

u = 2,1 x + 1,2 y

u = 2 x + y , x + 2 y

T v = 3 v = T ( x e 1 ) + T ( y e 2 )

3 v = 2,1 x + 1,2 y

v = 1 3 2 x + y , 1 3 x + 2 y

Resposta

  1. Demonstração
  2. Demonstração
  3. Demonstração
  4. v = 1 3 2 x + y , 1 3 x + 2 y e u = 2 x + y , x + 2 y

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