Enunciado

Seja T : V → w uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita com produto interno.

a) Mostre que N ( T * T = N ( T ) ;

b) Mostre que se T e injetiva, então e T * T invertível.

c) Mostre que L T * = L ( T * T ) .

d) Mostre que se T e sobrejetiva, então T T * e invertível.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V → w uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita com produto interno.

a) Mostre que N ( T * T = N ( T ) ;

b) Mostre que se T e injetiva, então e T * T invertível.

c) Mostre que L T * = L ( T * T ) .

d) Mostre que se T e sobrejetiva, então T T * e invertível.

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para N ( T * T = N ( T ) , temos

T * T V = 0 - , temos

T V ∈ L ( T ) ∩ N ( T * )

Ficando,

T V   C   N ( T * )

Na letra (b) para mostrar que T é injetiva então,

< T V , W >   =   < V , T * w >

Na letra ( c ) para mostrar que,

L T * = L ( T * T ) , temos que o subespaço vale,

N T , L T * , logo

L t ⊥ = N ( t * )

E por fim na letra (d) para mostrar que T é sobrejetiva então,

N t = L t * ⊥

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) T V   C   N ( T * )

b) < T V , W >   =   < V , T * w >

c) L t ⊥ = N ( t * )

d) N t = L t * ⊥

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