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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 1

Sendo F , G e H ∈ L R 2 definidos por F x , y = x ,   2 y , G x , y = y , x + y e H x , y = 0 ,   x , determinar F + H , F ∙ G , G ∙ H + F , G ∙ F , H ∙ F , H ∙ F ∙ G e , G ∙ F ∙ H .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Para resolver esse exercício, vamos transcrever tudo em matriz canônica, porque irá facilitar para gente. Beleza?

Primeiro vamos escrever como se fosse uma soma. Segundo vamos colocar em evidência x e y . E por fim vamos reescrever em forma de uma matriz.

F x , y = x ,   2 y = x 2 y = x 0 + 0 2 y = x 1 0 + y 0 2 = 1 0 0 2 x y

G x , y = y , x + y = y x + y = 0 x + y y = x 0 1 + y 1 1 = 0 1 1 1 x y

H x , y = 0 ,   x = 0 x = 0 x + 0 0 = x 0 1 + y 0 0 = 0 0 1 0 x y

Molezinha, não foi?

Passo 2

Agora vamos resolver essas operações, para isso vamos realizar as oprações entre as matrizes, e depois retornar como estavam no início no exercício.

F + H = 1 0 0 2 x y + 0 0 1 0 x y

F + H = 1 0 0 2 + 0 0 1 0

F + H = 1 0 1 2 x y

F + H = x , x + 2 y

Passo 3

F ∙ G = 1 0 0 2 x y ∙ 0 1 1 1 x y

F ∙ G = 1 0 0 2 ∙ 0 1 1 1 = 0 1 2 2 x y

F ∙ G = 0 1 2 2 x y

F ∙ G = y . 2 x + 2 y

Passo 4

G ∙ H + F , como temos uma adição H + F , e ela possui propriedade comutativa, ou seja:

H + F = F + H

F + H = 1 0 1 2 x y

Temos:

G ∙ H + F = 0 1 1 1 x y ∙ 1 0 1 2 x y

G ∙ H + F = 0 1 1 1 ∙ 1 0 1 2

G ∙ H + F = 1 2 2 2 x y

G ∙ H + F = x + 2 y , 2 x + 2 y

Passo 5

G ∙ F , vamos lembrar que multiplicação de matrizes não possui propriedade comutativa, então:

G ∙ F = 0 1 1 1 x y ∙ 1 0 0 2 x y

G ∙ F = 0 1 1 1 ∙ 1 0 0 2

G ∙ F = 0 2 1 2 x y

G ∙ F = 2 y , x + 2 y

Passo 6

H ∙ F = 0 0 1 0 x y ∙ 1 0 0 2 x y

H ∙ F = 0 0 1 0 ∙ 1 0 0 2

H ∙ F = 0 0 1 0 x y

H ∙ F = 0 , x

Passo 7

H ∙ F ∙ G = 0 0 1 0 x y ∙ 1 0 0 2 x y ∙ 0 1 1 1 x y

H ∙ F ∙ G = 0 0 1 0 ∙ 1 0 0 2 ∙ 0 1 1 1

H ∙ F ∙ G = 0 0 1 0 ∙ 0 1 1 1

H ∙ F ∙ G = 0 0 0 1 x y

H ∙ F ∙ G = 0 , y

Passo 8

G ∙ F ∙ H , lembra do que vimos no Passo 5?

Que multiplicação de matrizes não possui propriedade comutativa.

G ∙ F ∙ H = 0 1 1 1 x y ∙ 1 0 0 2 x y ∙ 0 0 1 0 x y

G ∙ F ∙ H = 0 1 1 1 ∙ 1 0 0 2 ∙ 0 0 1 0

G ∙ F ∙ H = 0 2 1 2 ∙ 0 0 1 0

G ∙ F ∙ H = 2 0 2 0 x y

G ∙ F ∙ H = 2 x , 2 y

Mandamos bem nessa, o que acha de fazermos outra?

Resposta

F + H = x , x + 2 y

F ∙ G = y . 2 x + 2 y

G ∙ H + F = x + 2 y , 2 x + 2 y

G ∙ F = 2 y , x + 2 y

H ∙ F = 0 , x

H ∙ F ∙ G = 0 , y

G ∙ F ∙ H = 2 x , 2 y

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