Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 13a
13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.
Passo 1
Um operador ser idempotente significa que:
E um operador, , é nilpotente se existir um certo número natural, , que faça com que:
Passo 2
a)
Esse operador apenas inverte os sinais das componentes do vetor, dessa forma não importa quando vezes façamos essa operação nunca obteremos um vetor nulo, ou seja, não é nilpotente.
E se invertermos duas vezes o sinal de cada termo teremos novamente o vetor original:
E esse resultado é diferente de quando aplicamos só uma vez o operador:
Pois
Dessa forma, o vetor também não é idempotente.
Resposta
Não é idempotente nem nilpotente.
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