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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 28.Problemas - Ex. 3

Seja u   =   ( a ,   b ,   c ) um vetor unitário, com a b c   ≠   0 . Determine o valor de t de modo que, pondo   v   =   ( - b t ,   a t ,   0 ) e w   =   ( a c t ,   b c t ,   - 1 / t ) , os vetores u ,   v   e   w sejam unitários e mutuamente ortogonais. A condição a b c   ≠   0 pode ser omitida?

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente temos um problema demonstrativo, beleza?

Começaremos relembrando que para vetores sejam ortogonais entre si, seus produtos escalares devem ser nulo, logo vamos aplicar esse conceito.

Para u   e   v temos:

u   =   a ,   b ,   c   e   v   =   ( - b t ,   a t ,   0 )  

u . v   =   (   - a b t   +   b a t   + c . 0 )

u . v   = 0  

Para u   e   w temos:

u   =   a ,   b ,   c   e   w   =   ( a c t , c b t ,   - 1 t )

u . w   =   (   a 2 c t +   b 2 c t - c t )

Para que u . w seja nulo

u . w   =   t c (   a 2 1 +   b 2 - 1 t ² )

Uma solução trivial será

c t   =   0   ,   c o m o   c ≠ 0 ,   l o g o   t = 0  

Solução não trivial será :

a 2 1 +   b 2 - 1 t 2 = 0  

t 2 =   1 a + b ²

t = 1 a 2 + b

Até ai tranquilo?

Passo 2

Para u   e   w temos:

v   =   - b t ,   a t ,   0   e   w   =   ( a c t , c b t ,   - 1 t )

u . w   =   (   - t 2 a c b +   a c b t 2 - 0   )

u . w = 0  

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

t = 1 a 2 + b

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