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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 34.Problemas - Ex. 3

Seja m uma matriz 3 × 3 cujas linhas são linearmente independentes. Considere:

e 1 = | 1 | | 0 | | 0 | ; e 2 =   | 0 | | 1 | | 0 | e e 3 = | 0 | | 0 | | 1 |

Resolvendo os sistemas m   ·   x   =   e 1 , m   ·   x   =   e 2 e m   ·   x   =   e 3 , mostre que existe uma única matriz n , do tipo 3   ×   3 , tal que m   ·   n   =   I 3 .

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Galera vamos relembrar um pouco de conceito antes e ir resolvendo vários sistemas desnecessários.

Se observamos as matrizes e 1 , e 2   e   e 3 temos partes de uma matriz identidade 3 x 3 .

Sabemos pelo livro texto o conceito de matriz invertível, lembra?

Calma!

Por definição a matriz Invertível pode ser descrita como:

m . n   =   I

Onde m é nossa matriz 3 x 3   e n sua matriz inversa!

Então o que nosso mestre ELON quer saber é a prova que n é única.

Tranquilo?

Passo 2

Agora vamos provar que:

m . n   =   I

m . n - 1   =   m - 1   = I

Sabemos aplicando as propriedades de matrizes que:

( m . n ) m . n - 1   = m . n - 1 m . n =   I  

( m . n ) m . n - 1   = m n . n - 1 . m - 1 = m I m - 1 =   m m - 1 = I

Aplicando a propriedade associativa:

( m - 1 . n - 1 ) m n = n - 1 m - 1 . m n - 1 = m - 1 I m = I

Portanto

m . n - 1   =   m - 1   = I

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

m . n - 1   =   m - 1   = I

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