Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 3a
Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases:
Passo 1
Teorema 1 - Seja uma base dp espaço U. Dizemos que as aplicações e que associam cada elemento u e os elementos e respectivamente, configuram uma base dual da base .
Assim seja nossa base dual dada por , na qual temos que e podem ser escritas como
Além disso temos que
Ou seja, leva nossos vetores ao primeiro vetor da base canônica, isto é, a base que constroi nosso espaço . Logo nosso unico trabalho é calcular quem são nossos elementos e com .
Passo 2
Matematicamente já apresentamos o que fazer, certo? Se não hahaha seguimos. Tomando o que apresentamos no Passo 1, temos então que
Assim como supomos escrever nossas Transformações, então podemos escrever
E
Passo 3
Então como diria Jack Estripador, vamos por partes. Para , pela segunda equação temos que . Substituindo na equação 3 temos
Assim falta determinar quem é . Mas ficou fácil não? Olhando pra primeira equação temos que
Vou dar um Ctrl+C e Ctrl+V no que acabmos de fazer e seguir para e , então como diria Jack Estripador, vamos por partes (hahahahahaha). Para , pela segunda equação temos que . Substituindo na equação 3 temos
Implicando em
Assim falta determinar quem é . Mas ficou fácil não? Olhando pra primeira equação temos que
E por fim, como diria Jack Estripador, vamos por partes (+haha). Para , pela segunda equação temos que . Substituindo na equação 3 temos
Implicando em
Assim falta determinar quem é . Mas ficou fácil não? Olhando pra primeira equação temos que
Passo 4
Assim por fim, temos que
Nossa base dual.