Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:

A inversa de uma rotação no plano por um ângulo θ é a rotação do plano do ângulo - θ .

Passo 1

A questão pede para acharmos a inversa de uma rotação no plano. A matriz de rotação é dada por:

T = cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Note que det ⁡ T = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 ≠ 0 , logo a transformação admite inversa!

Passo 2

Para inverter essa matriz, vamos usar o truque de inversão das matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

T - 1 = 1 1 cos ⁡ θ s e n   θ - s e n   θ cos ⁡ θ = cos ⁡ ( - θ ) - s e n   ( - θ ) s e n   ( - θ ) cos ⁡ ( - θ )

Usei que cos ⁡ ( - θ ) = cos ⁡ θ e s e n   - θ = - s e n   θ .

Note que essa matriz representa uma rotação por um ângulo - θ .

Resposta

Demonstração.

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