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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 6

Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.

x + y + z = 0 3 x + 2 y - 2 z = 0 4 x + 3 y - z = 0 6 x + 5 y + z = 0

Passo 1

Desejamos encontrar uma base do espaço solução do sistema linear dado e encontrar a dimensão do mesmo. Para isso vamos escrever o nosso sistema sob a forma de matriz para facilitar a visualização, então,

1 1 1 3 2 - 2 4 3 - 1 6 5 1 ⋅ x y z = 0 0 0

Trocando as linhas 1 e 4 de lugar vamos obter

6 5 1 3 2 - 2 4 3 - 1 1 1 1 ⋅ x y z = 0 0 0

Façamos, agora, as seguintes operações

L 2 - L 1 2 → L 2

→ 6 5 1 0 - 1 2 - 5 2 4 3 - 1 1 1 1 ⋅ x y z = 0 0 0

Continuando com as operações vamos fazer

L 3 - 2 3 ⋅ L 1 → L 3 ,     L 4 - L 1 4 → L 4

→   6 5 1 0 - 1 2 - 5 2 0 - 1 3 - 5 3 0 1 6 5 6 ⋅ x y z = 0 0 0

Calma que já estamos quase chegando onde desejamos, porém, vamos continuar com nossas operações para simplificar nossa conta

L 3 - 2 3 ⋅ L 2 → L 3 ,     L 4 + L 2 3 → L 4

→   6 5 1 0 - 1 2 - 5 2 0 0 0 0 0 0 ⋅ x y z = 0 0 0

Por fim, vamos fazer

- 2 L 2 → L 2 ,     L 1 - 5 L 2 → L 1 ,     L 1 6 → L 1

→   1 0 - 4 0 1 5 0 0 0 0 0 0 ⋅ x y z = 0 0 0

Ficamos com o seguinte sistema

x - 4 z = 0 y + 5 z = 0

Passo 2

Analisando o sistema acima percebemos que temos 3 variáveis e duas equações apenas, ou seja, nosso sistema tem mais de uma solução assim vamos chamar nossa variável z de um parâmetro cujas soluções todas dependerão dela. Então, façamos o seguinte

z = t → x = 4 t ,     y = - 5 t

Podemos fazer a seguinte comparação agora

x y z = 4 t - 5 t t = t ⋅ 4 - 5 1

Logo, nossa base do espaço solução vai ter dimensão 1 e todos dependerão do vetor acima e do parâmetro t .

Resposta

B a s e : 4 - 5 1 ,   D i m e n s ã o : 1

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Em cada caso, encontre um vetor da base canônica de R 3 que pode ser acrescentado ao conjunto v 1 , v 2 para formar uma base de R 3 . a v 1 = - 1,2 , 3 , v 2 = 1 , - 2 , - 2 b v 1 = 1 , - 1,0 , v 2 =
Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço. x 1 + x 2 - x 3 = 0 - 2 x 1 - x 2 + 2 x 3 = 0 - x 1 + + x 3 = 0