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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 6c

Sejam r 1 : x , y , z = ( 1 + 2 t , t , 2 + 3 t ) e r 2 : x , y , z = ( t , 1 + m t , - 1 + 2 m t ) duas retas

c) Determine a equação do plano determinado por r 1   e   r 2

Passo 1

Bora que está quase acabando!

Temos que encontrar os componentes da seguinte equação geral;

a x + b y + c z + d = 0

Temos que ( a , b , c ) são as componentes do vetor normal ao plano, e o a constante d pode ser obtido conhecendo um ponto que pertence ao plano. Vamos começar pelo vetor normal!

Passo 2

Como vimos na alternativa a), temos que as retas r 1   e r 2 são coplanares para m = 2 3 . Portanto, podemos encontrar o vetor normal ao plano através do produto vetorial:

N = V 1 × V 2 = det ⁡ i ^   j ^ k ^ 2 1 3 1 2 / 3 4 / 3 = 4 3 - 2 i ^ + 3 - 8 3   j ^ + 4 3 - 1   k ^ = - 2 3   i ^ + 1 3   j ^ + 1 3   k ^

Resumindo, temos a , b , c = ( - 2 3 , 1 3 , 1 3 ) . Beleza, agora vamos usar um ponto que pertence ao plano para achar d .

Passo 3

Podemos usar tanto P 1 quanto P 2 , é indiferente, temos que:

- 2 3 x + 1 3 y + 1 3 z + d = 0

Aplicando P 1 = ( 1,0 , 2 ) , temos:

- 2 3 1 + 1 3 0 + 1 3 2 + d = 0 → d = 0

E a equação do plano é da forma:

π :   - 2 3 x + 1 3 y + 1 3 z = 0

Multiplicando todo mundo por - 3 , obtemos:

π : x - y - z = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

π : x - y - z = 0

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Sejam a reta r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano paralelo aos vetores V 1 = ( 1 ,2 ,0 ) e V 2 = ( 1 ,0 ,1 ) passando pela origem. Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao p
Sejam r 1 : x , y , z = ( 1 + 2 t , t , 2 + 3 t ) e r 2 : x , y , z = ( t , 1 + m t , - 1 + 2 m t ) duas retasa) Determine m para que as retas sejam coplanares (não sejam reversas).
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Para quais valores lambda o conjunto de vetores { (3,1 , 0) , ( lambda^2 + 2,2 , 0 ) } é L.D.?
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