Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 7
Sejam a reta r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano paralelo aos vetores e passando pela origem. Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao plano. Para o valor de m encontrado, a reta está contida no plano?
Passo 1
Vamos lá para maaais uma resolução??
Bom, primeiro devemos saber que o vetor relacionado à reta dado (o vetor diretor da reta) é
W = (2, m, 1)
Assim, nós queremos que os vetores V’s sejam linearmente dependentes do vetor W, para que possamos determinar o valor de m pedido no exercício.
Passo 2
Para isso, devemos montar uma matriz com os vetores que temos e vamos, então, realizar o cálculo de seu determinante:
det = 4 + 0 + 0 – 2 – m – 0
det = 2 – m
Igualando o determinante a zero para encontrarmos o m desejado:
2 – m = 0
m = 2
Passo 3
Para descobrirmos se a reta está contida no plano, vamos utilizar um ponto inicial da reta r, P = (1, 1, 1). Para transformarmos esse ponto em vetor, podemos utilizar a origem, de forma que:
Realizando o cálculo do determinante de uma matriz formada pelo vetor e pelos vetores V’s, temos:
A reta só está inclusa no plano caso os vetores sejam linearmente dependentes, ou seja, se o resultado do determinante for 0.
Como , a reta não está contida no plano.
Resposta
m = 2.
A reta não está contida no plano.