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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 6a

Sejam r 1 : x , y , z = ( 1 + 2 t , t , 2 + 3 t ) e r 2 : x , y , z = ( t , 1 + m t , - 1 + 2 m t ) duas retas

a) Determine m para que as retas sejam coplanares (não sejam reversas).

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Para começar vamos lembrar que para que duas retas sejam coplanares é necessário que seus vetores diretores sejam coplanares, e para isso é necessário obedecer a seguinte relação:

U ⋅ V × W = 0

Então precisamos de um terceiro vetor! Vamos achar isso através dos pontos que pertencem as retas! Bora lá!

Passo 2

Temos os seguintes pontos:

P 1 = 1,0 , 2   e   P 2 = ( 0,1 , - 1 )

E desta forma, o seguinte vetor:

P 1 P 2 → = 0 - 1,1 - 0 , - 1 - 2 = ( - 1,1 , - 3 )

Com três vetores em mãos, vamos aplicar o produto misto!

Passo 3

Os vetores diretores das retas são V 1 = ( 2,1 , 3 ) e V 2 = ( 1 , m , 2 m ) , juntamente com P 1 P 2 → , temos:

U ⋅ V × W = det ⁡ - 1 1 - 3 2 1 3 1 m 2 m = - 2 m + 3 - 6 m + 3 - 4 m + 3 m = 6 - 9 m

Ou seja,

6 - 9 m = 0 → m = 6 9 = 2 3

Essa foi a primeira alternativa, vamos para a próxima!

Resposta

m = 2 / 3

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