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Exercícios de Dependência Linear - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Determine se os conjuntos abaixo são L I   ou LD:

a   1 ,   0 ,   3 ,   2 , 2 ,   1 ,   4 ,   3

b   2 ,   0   ,   - 8 , - 3 ,   1 ,   2 ,   ( 2 ,   - 1 ,   2 )

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Questão 2

Determinar o valor de k para que seja L I o conjunto abaixo:

{ - 1,0 , 2 , 1,1 , 1 , k , - 2,0 }

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Questão 3

Os vetores  v 1 → = ( 1 ,   0 ,   0,0 ) ,  v 2 → = ( 0 ,   1 ,   0,0 ) ,   v 3 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ,   2 ) ,   v 4 → = ( 1 ,   2 ,   3 ,   1 ) são L I ou L D ??

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Questão 4

Encontre o vetor w → sabendo que o conjunto ( u → ,   v → ,   w → ) é L D .

u → = 1 ,   2 ,   3 ,   v → = ( 1 ,   3 ,   1 ) e   w → = ( 1 ,   y ,   1 ) .

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Questão 5

Proponha um vetor do R 4 que seja L I com os vetores u → = 1 ,   1 ,   3 , 4 ,   v → = ( 1 ,   3 ,   1 , 3 ) .

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Questão 6

Determine por inspeção se é L I :

a   1,2 , 2,3 , 2,4 , 4,5

b   - 1,2 , 1 , - 3 , 3 , - 6 , - 3,9

c   1,2 , 2,1 , 3,3

d   1,2 , 3,4 , 5 , 0,0 , 0,0 , 0 , 5,4 , 3,2 , 1

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Questão 7

Seja V = x , y , z ∈ R 3     x , y , z > 0 } com as operações

x 1 , y 1 , z 1 ⊕ x 2 , y 2 , z 2 = ( x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 )

λ ⊙ x , y , z = x λ , y λ , z λ   p a r a   t o d o   λ   ∈ R .

Considere as seguintes afirmações:

I   1,1 , 1 ,   1,2 , 3 , , 2,2 , 8   é   L . D . .

I I   1,2 , 3 , 1,4 , 9   é   L . D . .

I I I   1,2 , 3 , 2,2 , 8   é   L . D . .

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Questão 8

Sejam u → e v → dois vetores quaisquer. Considere as seguintes afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

  1. Se u → , v → é um conjunto Linearmente Dependente, então ambos os conjuntos u → e v → são Linearmente Dependentes.
  2. Se u → , v → é um conjunto Linearmente Independente, então ambos os conjuntos u → e v → são Linearmente Independentes.

( a ) I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) Ambas são verdadeiras.

( c ) Ambas são falsas.

( d ) I I é verdadeira e I é falsa.

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Questão 9

Se { u → ,   v → } é linearmente independente e   { u → ,   v → , w → } é linearmente dependente, então:

I - { u → ,   w → } pode ser um conjunto linearmente independente.

II - { w → } pode ser um conjunto linearmente independente.

(a) Ambas são verdadeiras

(b) Ambas são falsas

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) I é verdadeira e II é falsa  

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Questão 10

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba um contraexemplo.

  1. Se o conjunto de vetores β = v 1 ,   v 2 ,   v 3 é linearmente dependente, então o subconjunto { v 2 ,   v 3 } ⊂ β é linearmente dependente.
  2. Se k = 2 então o conjunto { ( 1,2 , 3 ) , ( 1,1 , 1 ) , ( 0,1 , k ) } é linearmente dependente

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Questão 11

Durante 50 dias, as temperaturas ao meio dia nas capitais de 100 países foram medidas e armazenadas numa matriz A. Essa é uma matriz 100 × 50 , cujas entradas a i j correspondem a temperatura na cidade i no dia j. Assinale a afirmativa correta:

(a) É altamente provável que uma coluna de A seja combinação linear das demais.

(b) É altamente improvável que uma coluna de A seja combinação linear das demais.

(c) Uma das colunas de A tem que ser combinação linear das demais.

(d) Nenhuma das colunas de A pode ser combinação linear das demais.

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Questão 12

Qual dos conjuntos abaixo é linearmente independente?

a) 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   4 ,   2 ,   6 ,   5

b) 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   4 ,   1 ,   4 ,   4

c) 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   4 ,   5 ,   5 ,   5

d) 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   4 ,   1 ,   9 ,   7

e) Não sei.

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Questão 13

Considere as seguintes afirmações:

I Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum é múltiplo escalar dos demais.

I I Se U = u 1 , … , u l e W = w 1 , … , w k são dois conjuntos linearmente dependentes, então podemos ter U ∩ W linearmente independente.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Questão 14

Qual dentre as proposições abaixo é VERDADEIRA?

( a ) Se v → e w → são tais que v → ≠ w → e v → ≠ 0 → , então o conjunto v → , w → é sempre linearmente dependente.

( b ) Se o conjunto u → , v → é linearmente independente, então o conjunto k u → , k v → também é linearmente independente, para todo número real k ≠ 0 .

( c ) Se v → e w → são tais que v → ≠ w → e v → ≠ 0 → , então o conjunto v → , w → é sempre linearmente independente.

( d ) Se v → ≠ 0 → , então o conjunto v → é sempre linearmente dependente.

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Questão 15

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

I   Sejam S = u 1 , … , u l e T = v 1 , … , v k subconjuntos de um espaço vetorial V t.q. S ⊆ T e S é linearmente dependente. Então T é linearmente dependente.

I I Se o vetor w for combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , … , v k então v 1 é combinação linear de w , v 2 , … , v k .

( a ) I I é verdadeira e I é falsa.

( b ) Ambas são falsas.

( c ) Ambas são verdadeiras.

( d ) I é verdadeira e I I é falsa.

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Questão 16

Considere as seguintes afirmações:

( I ) para quais quer pontos dois a dois distintos A , B , C , D   ∈ E 3 , vale que o conjunto

A B → , A C → , A D →

É linearmente dependente, se e somente se, os pontos A , B , C   e   D são coplanares

( I I ) para quais quer pontos dois a dois distintos A , B , C , D , E , F   ∈ E 3 , vale que o conjunto

A B → , C D → , E F →

É linearmente dependente, se e somente se, os pontos A , B , C , D , E   e   F são coplanares

( I I I ) para quaisquer vetores v → , w → , z → ∈ V 3 , se o conjunto v → , w → , z → é linearmente dependente, então algum subconjunto de v → , w → , z → com apenas dois vetores é linearmente dependente.

Assinale a alternativa correta:

a )   todas as afirmações são falsas.

b ) apenas as afirmações I   e   ( I I ) são verdadeiras

c ) apenas a afirmação ( I ) é verdadeira

d ) apenas as afirmações I I   e   ( I I I ) são verdadeiras

e ) apenas as afirmações I   e   ( I I I ) são verdadeiras

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Questão 17

Sejam dados vetores v 1 → , v 2 → , v 3 →   ∈ V 3 e uma base B de V 3 . Considere o sistema linear

A x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3

Nas incógnitas reais x 1 , x 2   e   x 3 , em que A é a matriz 3 × 3 cujas colunas são v 1 → B , v 2 → B   e v 3 → B e b 1 ,   b 2   e   b 3 são números reais dados. Considere também as seguintes afirmações:

I   se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente independentes, então esse sistema linear possuirá solução;

I I   se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente independentes, então esse sistema linear possuirá solução se, e somente se, b 1 = b 2 = b 3 = 0 ;

I I I se os vetores v 1 → , v 2 →   e   v 3 → forem linearmente dependentes, então esse sistema linear possuirá infinitas soluções

Assinale a alternativa correta:

a   apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira

b   apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira

c   apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira

d   apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras

e   apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras

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Questão 18

Sejam v → , w → , z → ∈ V 3 vetores linearmente dependentes. Considere as seguintes afirmações:

I   o s   v e t o r e s   v → - w → , v → + 3 z → , w → - 2 z →     s ã o   l i n e a r m e n t e   d e p e n d e n t e s

I I   o   v e t o r   v →   é   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   w →   e   z →

I I I   s e   v →   e   z →   f o r e m   n ã o   n u l o s   e   n ã o   p a r a l e l o s ,   e n t ã o   w →   s e r á   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   v →   e   z →

Assinale a alternativa correta

a   a p e n a s   a s   a f i r m a ç õ e s   I   e   I I I   s ã o   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a s ;

b   a p e n a s   a s   a f i r m a ç õ e s   I   e   I I   s ã o   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a s ;

c   a p e n a s   a s   a f i r m a ç õ e s   I I   e   I I I   s ã o   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a s ;

d   a p e n a s   a   a f i r m a ç ã o   I I I   é   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a ;

e   a p e n a s   a   a f i r m a ç ã o   I   é   n e c e s s a r i a m e n t e   v e r d a d e i r a ;

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Questão 19

Sejam v → , w → , z →   ∈ V 3 vetores tais que v → e w → sejam ambos ortogonais a z → .

Suponha que:

v → + w → + z → 2 = v → 2 + w → 2 + z → 2

E considere as seguintes afirmações:

I   z → = 0 → ;

I I   v →   e   w →   s ã o   o r t o g o n a i s

I I I   v →   e   w →   s ã o   l i n e a r m e n t e   d e p e n d e n t e s .

a   apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira

b   apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira

c   apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira

d   apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras

e   apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras

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Questão 20

Sejam u → , v → , w →   ∈ V 3 vetores não nulos com { u → , v → } linearmente independentes. Está correto afirmar que

A   S e   w → é ortogonal a u →   e   a   v → , então { u → , v → , w → } é uma base ortogonal de V 3

B   O   c o n j u n t o { u → , v → , w → } é linearmente independente.

C   O s   v e t o r e s   u → + v →   e   u → - v →   s ã o   o r t o g o n a i s .

D   S e     u → , v → , w →   é   u m a   b a s e   o r t o g o n a l   d e   V 3 ,   e n t ã o   p r o j w → u → + v → = 0 →    

E S e   {   u → , v → , w → }   é um conjunto linearmente independente, então o conjunto { u → + v → - w → , u → - v → ,   2 v → - w → } também é linearmente independente.

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Questão 21

Sejam u 1 → , u 2 → , u 3 →   vetores em V 3 , e sejam v 1 → , v 2 → , v 3 → os vetores

v 1 → = a 1 u 1 → + a 2 u 2 → + a 3 u 3 →

v 2 → = b 1 u 1 → + b 2 u 2 → + b 3 u 3 →

v 3 → = c 1 u 1 → + c 2 u 2 → + c 3 u 3 →

Onde a i , b i , c i ∈ R ,   i = 1,2 , 3   . Considere as seguintes afirmações:

I   V a l e   a   i d e n t i d a d e   v 1 → , v 2 → , v 3 → = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 u 1 → , u 2 → , u 3 → ;

I I   S e     v 1 → , v 2 → , v 3 →   é   L . I ,   e n t ã o   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   L . I  

I I I   S e   u 1 → , u 2 → , u 3 →   é   L . I ,   e n t ã o   v 1 → , v 2 → , v 3 →   é   L . I

Assinale a alternativa correta:

a )     s ó   I   e   I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

b )   s ó   I   e   I I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

c )   s ó   I I   e   I I I   s ã o   v e r d a d e i r o s

d )   s ó   I I   é   v e r d a d e i r a

e )   a s   t r ê s   s ã o   v e r d a d e i r a s

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Questão 22

I - Se u → , v → é linearmente dependente, então u → , v → , w → pode ser linearmente independente

II - Se   u → , v → , w → é linearmente independente, u → , v → então pode ser linearmente dependente

(a) Ambas são falsas

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é verdadeira e II é falsa

(d) I é falsa e II é verdadeira

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Questão 23

Considere v 1 , v 2 e v 3 três vetores L I e sejam w 1 = v 1 + v 2 , w 2 = v 1 - v 3 e w 3 = 2 v 2 + v 3 . Se escrevemos o vetor v 1 + v 2 + v 3 como combinação linear de w 1 , w 2 e w 3 , qual o coeficiente de w 2 ?

a - 2

b 3

c 1

d - 1

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Questão 24

Seja V um espaço vetorial sobre R , e u , v   e   w   três vetores em V tal que o conjunto u + v - w , u - v + w , u - v - w   é   L . I . .   Considere as seguintes afirmações:

I   O   c o n j u n t o   u + v , u + w , v + w   é   L . I

I I   O   c o n j u n t o   u - v , u - w , v + w   é   L . I . .    

I I I   O   c o n j u n t o   u , u + v , u + v + w   é   L . D . .  

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Questão 25

Considere as seguintes afirmações:

I   Se U = u 1 , … , u l e W = w 1 , … , w k são dois conjuntos linearmente dependentes, então podemos ter U ∩ W linearmente independente.

I I Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum deles é múltiplo escalar de algum dos demais.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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Questão 26

Considere os vetores de R 3 cujas coordenadas na base canônica são

v 1 = 1 ,   2 ,   1 ,                       v 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ,                           v 3 = ( 0 ,   3 ,   - 1 )

E o subespaço vetorial W de R 3 gerado por estes vetores.

a) Considere o vetor w cujas coordenadas na base canônica são

w = ( 1 ,   1 ,   1 )

Determine se w pode ser escrito como combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , v 3 . Em caso afirmativo, escreva w como combinação linear de v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

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Questão 27

Determine se o conjunto de vetores S = {(1,1,1,2), (1,2,1,1), (2,1,1,3), (3,1,1,4)} de R4

é LI.

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