Sejam A B →   =   ( 3,6 , 3 )   , A C →   =   ( 1,3 , - 2 )   e A D →   = ( 2,2 , α - 2 ) . Encontre os valores do parâmetro α para os quais o volume V do tetraedro A B C D fica igual a 3 .

Passo 1

Tudo bem, gente? Não sei se vocês lembram, mas o volume do tetraedro é dado por

V = 1 6 | [ A B , → A C → , A D → ] |

Então, vamos calcular esse produto misto, substituir na fórmula do volume e igualar a 3. Prontos ou não, aí vamos nós:

[ A B , → A C → , A D → ] = 3 [ 3 α - 6 + 4 ] - 6 [ α + 2 ] + 3 ( - 4 ) = 9 α + 3 ( - 2 ) - 6 α - 12 - 12

[ A B , → A C → , A D → ] = 3 α - 6 - 12 - 12 = 3 α - 30 = 3 ( α - 10 )

⇒ V = 1 6 | [ A B , → A C → , A D → ] | = | 3 ( α - 10 ) 6 | = | ( α - 10 ) | 2

V = 3 ⇒ | ( α - 10 ) | 2 = 3 ⇒ | α - 10 | = 6

Com isso, vemos que existem dois valores possíveis de α que satisfazem | α - 10 | = 6 : α = 16 e α = 4 .

Resposta

α = 16 e α = 4

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