Sabendo que os vetores A B → = 2,1 , - 4 ,   A C → = m , - 1,3 e   A D → = ( - 3,1 - 2 ) determinam um tetraedro de volume 3 , calcular o valor de m .

Passo 1

E aí, tudo joia?

O volume do tetraedro é 1 6 do volume do paralelepípedo, ou seja:

V t = 1 6   A B → ,   A C → ,   A D →

Aqui a gente já tem os vetores, então vamos calcular o produto misto em função de m ...

Passo 2

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t 2 1 - 4 m - 1 3 - 3 1 - 2 = 2 - 1 3 1 - 2 - 1 m 3 - 3 - 2 - 4 m - 1 - 3 1

= 2 2 - 3 - 1 - 2 m + 9 - 4 ( m - 3 )

= - 2 + 2 m - 9 - 4 m + 12

=   - 2 m + 1

A gente quer que o volume seja 3 , então vamos jogar isso na relação do volume do tetraedro...

Passo 3

Jogando na expressão (com módulo) temos:

3 = 1 6 - 2 m + 1

E aí aqui temos duas possibilidades:

3 = 1 6 - 2 m + 1

18 =   - 2 m + 1 → - 2 m = 17 → m = - 17 2

- 3 = 1 6 - 2 m + 1 →   - 18 = - 2 m + 1 → m = 19 2

Prontinho! Achamos os valores possíveis pra m para que o volume do tetraedro seja 3 😉

Resposta

m = - 17 2

m = 19 2

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