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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 34

Duas faces de um cubo estão, respectivamente, nos planos 2 x   - 2 y   +   z   - 1   =   0 e 2 x   - 2 y   +   z   + 5   =   0 . Determine o volume do cubo.

Passo 1

Fala galera. Nessa questão são dados dois planos e a informação que duas das faces de um cubo estão nesses planos. Já deu pra entender como resolver essa questão? Bem simples, por ser um cubo, suas arestas são iguais. Logo, só precisamos descobrir a distância entre os dois planos e termos a aresta do cubo. Por fim, elevamos ao cubo e teremos nosso resultado.

Vamos checar se esses planos são realmente paralelos entre si e, para isso, tomaremos os vetores normais de cada plano:

n 1 →   =   ( 2 , - 2,1 ) e n 2 →   =   ( 2 , - 2,1 )

Como podemos ver, são paralelos entre si, pois temos que n 1 →   =   α n 2 → , onde α   =   1 .

Pronto. Agora vamos calcular a distância entre esses dois planos. Para isso vamos usar um ponto de referência P   =   ( x 0 , y 0 , z 0 )   = ( 0,0 , 0 ) (a origem do sistema) e calcular a distância de cada plano ao ponto de referência. Então,

d 1   =   | a x 0   +   b y 0   +   c z 0   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2   = | 0 +   0 + 0   - 1 | 4   +   4   +   1   = | - 1 | 9   =   1 3

d 2   =   | a x 0   +   b y 0   +   c z 0   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2   = | 0 +   0 + 0   + 5 | 4   +   4   +   1   = | 5 | 9   =   5 3

Por fim, somamos as duas distâncias para se obter o valor entre os dois planos:

d   = d 1   +   d 2   =   1 3   +   5 3   =   6 3   =   2 .

Pronto pessoal. O volume desse cubo será:

V   =   d 3   =   ( 2 ) 3   =   8 .

Resposta

V   =   8

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a distância entre os planos paralelos:a) π 1 : 2 x + 2 y + 2 z - 5 = 0 e π 2 : x + y + z - 3 = 0
c) Determine a área da face do tetraedro contida no plano π .
Ache equações paramétricas da reta r ' , simétrica da reta r : x - 1 = y = z em relação ao plano x + y - z - 3= 0 .
Dê uma equação do plano γ , simétrico de α :x + y - z + 5 = 0 em relação ao plano β :x + y - z - 4 = 0 .