Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 4.Problemas propostos - Ex. 17
Três vértices de um tetraedro de volume são Determinar o quarto vértice , sabendo que ele pertence ao eixo
Passo 1
E aí, tudo joia?
O volume do tetraedro é do volume do paralelepípedo, ou seja:
O ponto pertence ao eixo , então ele é da forma:
Falta a gente achar esse aí! Vamos começar montando os vetores...
Passo 2
A gente tem que:
O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:
A gente quer que o volume seja , então vamos jogar isso na relação do volume do tetraedro...
Passo 3
Jogando na expressão (com módulo) temos:
E aí aqui temos duas possibilidades:
As possibilidades para o ponto então são:
Resposta
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Seja E uma base ortonormal positiva.(b) Sejam u → ,v → ,w → ,x → ,y →ez → vetores quaisquer. Mostre que u → ,v → ,w → x → ,y → ,z → = u → . x → u → . y → u → . z → v → . x → v → . y → v → . z → w → .
Sejam ( a → ,b → ,c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .(a) Mostre que u → ,v → , w → é base e determine sua orientação.
Seja ( e 1 → ,e 2 → ,e 3 → ) uma base.(a) Prove que, para todo vetor x → , vale a igualdade x → = x → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 1 → + e 1 → , x → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 2 → + e
Dados vec u , vec v e vec w , sejam E = (vec u , vec v , vec w) e F = (vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u) . Prove que (b) E é LD= F é LD;
Dados u → ,v → e w → , sejam E = u → , v → , w → e F = u → ∧ v → ,v → ∧ w → ,w → ∧ u → . Prove que (d) se E é base, então F é positiva. (Qual é, neste caso, o determinante de M E F ?)