Três vértices de um tetraedro de volume 6 são A - 2,4 , - 1 ,   B - 3,2 , 3 e   C 1 , - 2 - 1 . Determinar o quarto vértice D , sabendo que ele pertence ao eixo O y .

Passo 1

E aí, tudo joia?

O volume do tetraedro é 1 6 do volume do paralelepípedo, ou seja:

V t = 1 6   A B → ,   A C → ,   A D →

O ponto D pertence ao eixo O y , então ele é da forma:

D = ( 0 , y , 0 )

Falta a gente achar esse y aí! Vamos começar montando os vetores...

Passo 2

A gente tem que:

A B → = ( - 1 , - 2,4 )

A C → = ( 3 , - 6,0 )

A D → = ( 2 , y - 4,1 )

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t - 1 - 2 4 3 - 6 0 2 y - 4 1 = - 1 - 6 0 y - 4 1 + 2 3 0 2 1 + 4 3 - 6 2 y - 4

= - 1 - 6 - 0 + 2 3 - 0 + 4 ( 3 y - 12 + 12 )

= 6 + 6 + 12 y

= 12 y + 12

A gente quer que o volume seja 6 , então vamos jogar isso na relação do volume do tetraedro...

Passo 3

Jogando na expressão (com módulo) temos:

6 = 1 6 12 y + 12

E aí aqui temos duas possibilidades:

36 = 12 y + 12

12 y = 24 → y = 2

12 y + 12 = - 36

y = - 4

As possibilidades para o ponto D então são:

D 0,2 , 0     e     D ( 0 , - 4,0 )

Resposta

D 0,2 , 0     e     D ( 0 , - 4,0 )

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