Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 107

Sejam a excentricidade da elipse e um de seus focos. Prove que, se é um ponto qualquer de , não pertencente ao eixo maior, e é o ponto de interseção da reta normal à elipse em com o eixo maior, então .

Passo 1

Inicialmente, temos que

é a equação de (suponha ). Vamos derivar implicitamente tal relação para que possamos obter o coeficiente angular, , da reta tangente em um ponto genérico da elipse:

Logo, o coeficiente angular da reta normal, , será tal que:

Assim, o coeficiente angular da reta normal no ponto será:

A equação da reta será:

é a equação da reta normal à elipse no ponto . Para encontrarmos a intersecção com o eixo maior, basta fazer . Logo,

Logo, temos que

Passo 2

Suponha que é um dos focos da elipse.

Como

Segue que:

Passo 3

Também, temos

Passo 4

Finalmente, temos que

Porém, note que é exatamente igual ao valor da excentricidade da elipse. Logo,

Observação: você pode estar acostumado com . Porém, lembre-se que é escrito dessa maneira quando a elipse é escrita como com . No nosso caso, a elipse foi escrita como sendo com . Assim, o faz o papel do ou, equivalentemente, faz o papel do .