1. Sejam , e como no exercício resolvido anterior. Mostre que nenhum ponto de pertence à reunião das retas e que cada ponto de , com exceção e , pertence a alguma delas.
2. Prove que o hiperboloide de uma folha é uma superfície regrada, utilizando, no lugar das retas do exercício anterior, as retas
3. Prove que a quádrica é uma superfície regrada.

Agora que descrevemos as equações de cada uma das curvas, vamos começar provando que todos os pontos de não pertencem a reta . Portanto, seja . pertence a se, e somente se:

Então, . Agora, vamos substituir as coordenadas de na equação de e obteremos uma mentira. Portanto, vejamos só:

Então, basta olharmos a segunda equação. é uma verdade ou mentira? Claro que uma mentira. Além disto, percebam que fizemos para um ponto genérico de . Desta forma, podemos concluir que todo ponto de não pertence a .

Agora, vamos repetir o procedimento para a curva . Portanto, seja agora o ponto pertencente a curva . Então,

Então, . Agora, vamos substituir as coordenadas de na equação de e iremos analisar o resultado. Portanto, vejamos só:

Então, temos o ponto . Entretanto, percebam que o ponto , que satisfaz a curva , não é satisfeito por , pois e , por definição.

Portanto, acabamos de verificar que todo ponto de pertence a curva , a não ser o ponto .

Para provarmos que é uma superfície regrada utilizando , é bem simples.

O que vamos fazer é uma pequena mudança, ou melhor, comparação com . Ao checarmos que e consistem no mesmo conjunto de retas, provamos automaticamente que é uma superfície regrada dada pelo conjunto das retas .

Então, vejamos a seguinte relação que já sabemos ser uma verdade:

Agora, sem considerar que cada um dos termos é nulo, podemos fazer a seguinte mudança:

Se fizermos as devidas multiplicações, obtemos a equação de . Se considerarmos , vamos obter as equações de e .

Agora, a gente poderia ter feito uma pequena mudança na relação anterior. Poderíamos trocar de lugar com . Assim, obteríamos:

O que nos dá exatamente a equação de . Se considerarmos , teremos um par e novos tal que, a união destes três sistemas descreve todos os pontos de , provando assim o que a questão nos pede.

Para finalizarmos a questão, vamos provar que é uma superfície regrada. Para isto, vamos transformar a equação de em produtos. Isto é:

Vamos fazer algo bem semelhante com o que fizemos para verificar a letra b). Se e , temos:

Então, temos o conjunto de retas dadas por:

E aí recaímos sobre um caso modificado do que foi discutido durante toda a questão. Apesar da equação de ser um pouco diferente do outro caso, isto não impede que ela descreva todos os pontos pertencentes a superfície .