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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 8

Prove que superfícies cilíndricas circulares e superfícies cônicas circulares são quádricas.

Passo 1

Bom, para resolvermos esta questão, vamos desenvolver as superfícies cilíndricas e cônicas para a seguinte curva diretriz:

Γ : x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 z = 0

Curva esta que representa uma circunferência. Para facilitar nossos cálculos, utilizamos um sistema de coordenadas tal que a curva está centrada na origem e ela está contida no plano O x y . Estes detalhes em nada afetam o raciocínio da questão.

Então, para esta curva Γ , vamos obter ambas as superfícies cilíndricas e cônicas e posteriormente provar que elas representam quádricas cônicas.

Passo 2

Vamos começar pela obtenção da superfície cônica. Para facilitar os cálculos e obter uma superfície cônica cujo eixo de simetria é o eixo O z , vamos dizer que o vértice será V = 0,0 , c , sendo c ≠ 0 .

Então, seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e V Q → = λ V X → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u 2 + v 2 + w 2 = ρ 2 w = 0

E, se V Q → = λ V X → , também temos:

u = 0 + λ x - 0 v = 0 + λ y - 0 w = c + λ z - c ⟹ u = λ x v = λ y w = c + λ z - c

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u 2 + v 2 + w 2 = 0 w = 0 u = λ x v = λ y w = c + λ z - c

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

λ x 2 + λ y 2 + 0 2 = ρ 2 c + λ z - c = 0 u = λ x v = λ y w = c + λ z - c

Isolando λ na segunda equação, temos:

λ = - c z - c

Se z ≠ c . Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

λ x 2 + λ y 2 = ρ 2

- c x z - c 2 + - c y z - c 2 = ρ 2

c 2 x 2 z - c 2 + c 2 y 2 z - c 2 = ρ 2

Ω : x 2 + y 2 = ρ 2 c 2 z - c 2

E esta é a superfície cônica circular! Percebam que ela consiste na equação de uma quádrica cônica circular. Se fizermos a interseção com o plano z = 0 , vamos obter a circunferência x 2 + y 2 = ρ 2 .

Generalizando esta ideia, provamos que superfícies cônicas circulares são quádricas circulares.

Passo 4

Agora, vamos repetir o procedimento anterior, só que para a obtenção de uma superfície cilíndrica. Novamente, para facilitar os cálculos, vamos dizer que as geratrizes da superfície são paralelas ao eixo O z , logo, r → = 0,0 , 1 .

Então, seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e X Q → = λ r → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u 2 + v 2 + w 2 = ρ 2 w = 0

E, se X Q → = λ r → , também temos:

u = x v = y w = z + λ

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u 2 + v 2 + w 2 = ρ 2 w = 0 u = x v = y w = z + λ

Passo 5

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

x 2 + y 2 + z + λ = ρ 2 z + λ = 0 u = x v = y w = z + λ

Isolando λ na segunda equação, temos:

λ = - z

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

x 2 + y 2 + z + λ = ρ 2

x 2 + y 2 + z - z = ρ 2

x 2 + y 2 = ρ 2

O que consiste em uma quádrica cilíndrica circular.

Com isto, finalizamos a questão provando que, a partir de uma superfície cilíndrica ou cônica circular, obtemos sim quádricas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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