Sejam um número real positivo, e dois pontos tais que , e , um número real qualquer. Prove que o lugar geométrico dos pontos de tais que é um plano perpendicular ao segmento , cuja interseção com a reta ou é o ponto ou é o ponto que divide na razão (para recordar este conceito, volte ao Capítulo 5).

Agora, iremos substituir as relações obtidas no final do Passo 1 na relação eu queremos provar, e depois desenvolve-la. Sendo assim, temos:

E esta é a equação obtida após desenvolvermos todos os termos. Ela corresponde a equação de um plano , pois os pontos e são pontos distintos.

Portanto, pelo menos uma das diferenças que multiplicam as variáveis , e serão diferentes de zero.

Assim, acabamos de verificar a primeira parte: o lugar geométrico é um plano. Para verificar que é um plano perpendicular ao segmento , basta verificar o paralelismo entre o vetor normal ao plano e o vetor . Eles são, respetivamente:

Percebe-se facilmente que . Portanto, como os vetores são paralelos, acabamos de provar que o plano é perpendicular ao segmento .

Agora, iremos fazer a interseção do plano com a reta . Nosso primeiro trabalho será construir esta reta em si. Portanto,

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto na equação do plano . Com isto, temos:

Lembrando da relação de distância entre os pontos e , temos:

Que é exatamente o termo que temos na equação que estamos desenvolvendo! Portanto,

Portanto, o ponto interseção do plano com a reta é:

Para finalizarmos, vamos determinar a razão que o ponto divide o segmento . A razão será o valor tal que:

Desenvolvendo esta relação, temos:

Só que e , então,

Que é exatamente a razão que a questão nos pediu para determinar. Em especial, quando , a razão tende a 1, o que implica no ponto tender a ser o ponto .