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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.Exercícios Suplementares - Ex. 5

Sejam A = 2 1       1 2 e x 0 = 1 0 .

  1. Identifique o autovalor dominante de A e encontre o autovetor unitário dominante v associado de entradas positivas.
  2. Aplique o método das potências com mudança de escala euclidiana a A e x 0 , parando em x 5 . Compare o valor de x 3 obtido com o autovetor v encontrado na parte a .
  3. Aplique o método das potências com mudança de escala de entrada máxima a A e x 0 parando em x 5 . Compare o resultado obtido com o autovetor 1 1 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que a equação característica da matriz A é A - λ I = 0 :

2 - λ 1       1 2 - λ = 0

Resolvendo, temos que:

2 - λ 2 - λ - 1 = 0

λ 1 = 1

λ 2 = 3

Se os componentes x e y do vetor eigen correspondem ao eigen dominante no valor λ = 3 , temos que:

2 - λ 1       1 2 - λ x y = 0

- 1 1       1 - 1 x y = 0

Resolvendo, temos que:

x - y = 0

Assim o autovetor dominante normalizado será:

V = 1 2 1 2

Passo 2

Aplicando a escala Euclidiana à matriz A com o vetor unitário x 0 = 1 0 até x 5 , temos:

A x 0 = 2 1       1 2 1 0

Então:

x 1 = A x 0 A x 0

x 1 = 0,8944 0,4472

Portanto:

A x 1 = 2 1       1 2 0,8944 0,4472

A x 1 = 2,236 1,7888

Temos também que:

x 2 = A x 1 A x 1

x 2 = 0,7808 0,6247

Portanto:

A x 2 = 2 1       1 2 0,7808 0,6247

A x 2 = 2,1863 2,0302

Passo 3

Temos que:

x 3 = A x 2 A x 2

x 3 = 0,7327 0,6804

Portanto:

A x 3 = 2 1       1 2 0,7327 0,6804

A x 3 = 2,1458 2,0935

Temos também que:

x 4 = A x 3 A x 3

x 4 = 0,7157 0,6983

Portanto:

A x 4 = 2 1       1 2 0,7157 0,6983

A x 4 = 2,1297 2,1123

Portanto:

x 5 = A x 4 A x 4

x 5 = 0,7100 0,7042

Passo 4

Aplicando o método de potência com escala máxima de entrada à matriz A com o vetor unitário x 0 = 1 1 até x 5 , temos:

A x 0 = 2 1       1 2 1 0

A x 0 = 2 1

Então:

x 1 = A x 0 max ⁡ A x 0

x 1 = 1 0,5

Portanto:

A x 1 = 2 1       1 2 1 0,5

A x 1 = 2,5 2

Temos também que:

x 2 = A x 1 max ⁡ A x 1

x 2 = 1 0,8

Portanto:

A x 2 = 2 1       1 2 1 0,8

A x 2 = 2,8 2,6

Passo 5

Temos que:

x 3 = A x 2 max ⁡ A x 2

x 3 = 1 0,9285

Portanto:

A x 3 = 2 1       1 2 1 0,9285

A x 3 = 2,9285 2,857

Temos também que:

x 4 = A x 3 max ⁡ A x 3

x 4 = 1 0,9 51

Portanto:

A x 4 = 2 1       1 2 2,9755 2,951

A x 4 = 2,9755 2,951

Portanto:

x 5 = A x 4 max ⁡ A x 4

x 5 = 1 0,9917

Podemos concluir que x 5 é uma boa aproximação para o vetor eigen 1 1 a quatro casas decimais.

Resposta

a ) V = 1 2 1 2  

b )   x 5 = 0,7100 0,7042

c )   x 5 = 1 0,9917

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