Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 24
Verifique que os autovalores da matriz anti-hermitiana são números imaginários puros.
Passo 1
Como desejamos mostrar que os autovalores da matriz anti-hermitiana são imaginários devamos, então, calculá-los e para isso devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma
Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo
Esse determinante é calculado fazendo a multiplicação dos elementos da diagonal principal menos o valor da multiplicação dos elementos da diagonal secundária. Dessa forma, vamos ter
Assim, a equação característica fica sendo
E está provado que nossos autovalores são imaginários.
Resposta
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Encontre números que, colocados no lugar dos sinais × , tornem A anti-hermitiana. A = 0 i 2 - 3 i × 0 1 × × 4 i
Encontre números que, colocados no lugar dos sinais × , tornem A anti-hermitiana. A = 0 0 3 - 5 i × 0 - i × × 0
Mostre que A é unitária e encontre A^(- 1) .A = [[[[[((- 1 + i))/(sqrt(3))]],((1 - i))/(sqrt(6))],[((1))/(sqrt(3)),((2))/(sqrt(6))]]]
Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P . A = 4 1 - i 1 + i 5
Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P . A = 0 3 + i 3 - i - 3