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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 15

Nos exercícios 15-16, use a decomposição P L U dada de A para resolver o sistema A x = b reescrevendo-o como P - 1 A x = P - 1 b e resolvendo esse sistema por decomposição L U .

b = 2   1   5   ; A =   0   1   4   1   2   2   3   1   1  

A = 0   1   0   1   0   0   0   0   1   1   0   0   0   1   0   3   - 5   1   1   2   2   0   1   4   0   0   17   = P L U

Passo 1

O exercício pede para resolver o sistema por l P U que está descrito em A

Maaas, antes, para que serve o P L U ?

O P L U serve para para trocar as linhas de uma matriz, para evitar o arredondamento em alguns sistemas computacionais! Então

0   1   0   1   0   0   0   0   1   1   0   0   0   1   0   3   - 5   1   1   2   2   0   1   4   0   0   17   x 1   x 2   x 3   = 2   1   5  

E depois temos que decompor a matriz A em L U

L = 1   0   0   x 21   1   0   x 31   x 32   1             e             U = x 11   x 12   x 13   0   x 22   x 23   0   0   x 33  

Passo 2

Resolvendo o sistema por P L U temos

0   1   0   1   0   0   0   0   1   1   0   0   0   1   0   3   - 5   1   1   2   2   0   1   4   0   0   17   x 1   x 2   x 3   = 2   1   5  

0   1   0   1   0   0   3   - 5   1   1   2   2   0   1   4   0   0   17   x 1   x 2   x 3   = 2   1   5  

0   1   4   1   2   2   3   1   2   x 1   x 2   x 3   = 2   1   5  

Confirmando que é possível fazer a decomposição de A por P L U . Continuando com Gauss-Jordan

0   1   4   |           2   1   2   2   |           1   3   1   2   |     17   ∼ 1   0   0   |           6   0   1   0   | - 4   0   0   1   |   3 2  

Passo 3

Agora, para fazer a decomposição L U de A , vamos começar a fazer o escalonamento da matriz U

  0   1   4   1   2   2   3   1   1     ( - 3 )     ∼   0   1   4   1   2   2   0   - 5   - 5     × 5 / 2     ∼   0   1   4   1   2   2   0   0   0  

Mas que matriz U estranha né? Está percebendo como não dá pra tirar o 1 para zerá-lo? É por esse motivo que usamos o P L U !

Passo 4

Para montar a matriz L, encontramos em outro sistema de equações:

1   0   0   x 21   1   0   x 31   x 32   1     0   1   4   1   2   2   0   0   0   =     0   1   4   1   2   2   3   1   1  

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0   1   4   1   x 21 + 2   4 x 21 + 2   x 32   x 31 + 2 x 32   4 x 31 + 2 x 32   =     0   1   4   1   2   2   3   1   1  

x 21 + 2 = 2 → x 21 = 0

4 x 21 + 2 = 2 → x 21 = 0

x 32 = 3

x 31 + 2 x 32 = 1 → x 32 = - 1

4 x 31 + 2 x 32 = 1 → 4 - 1 + 2 × 3 = 1 → 2 ≠ 1

Dá pra sacar que por L U não conseguiremos resolver, porque 2 ≠ 1 . Assim concluímos que a melhor forma de fatorar A é por P L U .

Resposta

x 1 = 6

x 2 = - 4

x 3 = 3 2

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