Sejam A uma matriz simétrica n × n e

q x = x T A x

Onde x é um vetor qualquer em R n expresso em forma de coluna. O que pode ser dito sobre o valor de q se x for um autovetor unitário associado a um autovalor λ de A ?

Passo 1

Partindo do ponto de que A é uma matriz simétrica de dimensão n × n . Além disso, Seja x = 1 uma restrição que adotaremos nesse problema e seja o vetor x o auto vetor da unidade correspondente a λ 1

q x = x T A x

q x = x T λ 1 x

q x = x 2 λ 1 = λ 1

Então, λ 1 é um máximo restrito de q x . Agora, tomemos x como sendo o autovetor da unidade correspondente a λ n vamos ter, de forma análoga, o seguinte

q x = x T A x

q x = x T λ n x

q x = x 2 λ n = λ n

Dessa forma, λ n passa a ser um mínimo de q x . Consequentemente, teremos que

λ n ≤ q x ≤ λ 1

O máximo valor de k k é obtido no conjunto de vetores para os quais k = 1 corresponde aos valores próprios da matriz.

Resposta

λ n ≤ q x ≤ λ 1

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