Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 21
Sejam uma matriz simétrica e
Onde é um vetor qualquer em expresso em forma de coluna. O que pode ser dito sobre o valor de se for um autovetor unitário associado a um autovalor de ?
Passo 1
Partindo do ponto de que é uma matriz simétrica de dimensão . Além disso, Seja uma restrição que adotaremos nesse problema e seja o vetor o auto vetor da unidade correspondente a
Então, é um máximo restrito de . Agora, tomemos como sendo o autovetor da unidade correspondente a vamos ter, de forma análoga, o seguinte
Dessa forma, passa a ser um mínimo de . Consequentemente, teremos que
O máximo valor de é obtido no conjunto de vetores para os quais corresponde aos valores próprios da matriz.
Resposta
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