Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 26

Sejam A = 1 2 1 0 - 1 1 0 0 - 1 e B = 1 3 1 0 2 0 0 0 3 matrizes inversíveis.

  1. Calcule A B e B A e observe que estes produtos são distintos.
  2. Encontre os autovalores de A B e os de B A . O que observa?
  3. Encontre os autovetores de A B e os de B A . O que você nota?
  4. Motivado pelos itens anteriores, mostre que: se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, os autovalores de A B e B A são os mesmos. Mostre mais ainda: se λ 1 é um autovalor de A B com autovetor v , então λ 1 é autovalor de B A com autovetor B v . Da mesma forma, se λ 2 é um autovalor de B A com autovetor w , então λ 2 é autovalor de A B com autovetor A w .

Passo 1

  1. Para calcular a multiplicação de matrizes pegamos cada linha da primeira matriz com cada coluna da segunda e multiplicamos cada elemento com seu par e somamos, assim:

    2. A ⋅ B = 1 2 1 0 - 1 1 0 0 - 1 ⋅ 1 3 1 0 2 0 0 0 3 = 1 + 0 + 0 3 + 4 + 0 1 + 0 + 3 0 + 0 + 0 0 - 2 + 0 0 + 0 + 3 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 - 3 = 1 7 4 0 - 2 3 0 0 - 3

    B ⋅ A = 1 3 1 0 2 0 0 0 3 ⋅ 1 2 1 0 - 1 1 0 0 - 1 = 1 + 0 + 0 2 - 3 + 0 1 + 3 - 1 0 + 0 + 0 0 - 2 + 0 0 + 2 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 - 3 = 1 - 1 3 0 - 2 2 0 0 - 3

    Passo 2

  2. Para A B temos:

    3. det ⁡ A B - λ I

    Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

    λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

    Vamos então agora calcular A B - λ I :

    A B - λ I = 1 7 4 0 - 2 3 0 0 - 3 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 1 - λ 7 4 0 - 2 - λ 3 0 0 - 3 - λ

    Passo 3

    Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A B - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

    det ⁡ A B - λ I = 0 → 1 - λ 7 4 0 - 2 - λ 3 0 0 - 3 - λ = 0 → 1 - λ - 2 - λ - 3 - λ = 0

    λ 1 = 1 , λ 2 = - 2 e λ 3 = - 3

    Temos que os autovalores de A B são 1 , - 2 e - 3 .

    Passo 4

    Para B A temos:

    det ⁡ B A - λ I

    Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

    λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

    Vamos então agora calcular A B - λ I :

    B A - λ I = 1 - 1 3 0 - 2 2 0 0 - 3 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 1 - λ - 1 3 0 - 2 - λ 2 0 0 - 3 - λ

    Passo 5

    Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ B A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

    det ⁡ B A - λ I = 0 → 1 - λ - 1 3 0 - 2 - λ 2 0 0 - 3 - λ = 0 → 1 - λ - 2 - λ - 3 - λ = 0

    λ 1 = 1 , λ 2 = - 2 e λ 3 = - 3

    Temos que os autovalores de B A são 1 , - 2 e - 3 .

    Os autovalores de A B e B A são iguais.

    Passo 6

  3. Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 1 de A B :

    4. T v = λ v → 1 7 4 0 - 2 3 0 0 - 3 x y z = 1 ⋅ x y z → x + 7 y + 4 z - 2 y + 3 z - 3 z = x y z

    Temos então o sistema:

    x + 7 y + 4 z = x - 2 y + 3 z = y - 3 z = z

    Isolando os termos vamos achar os valores:

    z = 0

    y = 0

    x = x

    Pronto, assim temos:

    x , 0,0

    Passo 7

    Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor - 2 :

    T v = λ v → 1 7 4 0 - 2 3 0 0 - 3 x y z = - 2 ⋅ x y z → x + 7 y + 4 z - 2 y + 3 z - 3 z = - 2 x - 2 y - 2 z

    Temos então o sistema:

    x + 7 y + 4 z = - 2 x - 2 y + 3 z = - 2 y - 3 z = - 2 z

    Isolando os termos vamos achar os valores:

    z = 0

    y = y

    x = - 7 3 y

    Pronto, assim temos:

    - 7 y 3 , y , 0

    Passo 8

    Para os autovetores associados ao autovalor - 3 :

    T v = λ v → 1 7 4 0 - 2 3 0 0 - 3 x y z = - 3 ⋅ x y z → x + 7 y + 4 z - 2 y + 3 z - 3 z = - 3 x - 3 y - 3 z

    Temos então o sistema:

    x + 7 y + 4 z = - 3 x - 2 y + 3 z = - 3 y - 3 z = - 3 z

    Isolando os termos vamos achar os valores:

    z = z

    y = - 3 z

    x = 17 4 z

    Pronto, assim temos:

    17 z 4 , - 3 z , z

    Então os autovetores são da forma:

    v 1 = x , 0,0 , v 2 = - 7 y 3 , y , 0 e v 3 = 17 z 4 , - 3 z , z

    Passo 9

    Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 1 de B A :

    T v = λ v → 1 - 1 3 0 - 2 2 0 0 - 3 x y z = 1 ⋅ x y z → x - y + 3 z - 2 y + 2 z - 3 z = x y z

    Temos então o sistema:

    x - y + 3 z = x - 2 y + 2 z = y - 3 z = z

    Isolando os termos vamos achar os valores:

    z = 0

    y = 0

    x = x

    Pronto, assim temos:

    x , 0,0

    Passo 10

    Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor - 2 :

    T v = λ v → 1 - 1 3 0 - 2 2 0 0 - 3 x y z = - 2 ⋅ x y z → x - y + 3 z - 2 y + 2 z - 3 z = - 2 x - 2 y - 2 z

    Temos então o sistema:

    x - y + 3 z = - 2 x - 2 y + 2 z = - 2 y - 3 z = - 2 z

    Isolando os termos vamos achar os valores:

    z = 0

    y = y

    x = 1 3 y

    Pronto, assim temos:

    y 3 , y , 0

    Passo 11

    Para os autovetores associados ao autovalor - 3 :

    T v = λ v → 1 - 1 3 0 - 2 2 0 0 - 3 x y z = - 3 ⋅ x y z → x - y + 3 z - 2 y + 2 z - 3 z = - 3 x - 3 y - 3 z

    Temos então o sistema:

    x - y + 3 z = - 3 x - 2 y + 2 z = - 3 y - 3 z = - 3 z

    Isolando os termos vamos achar os valores:

    z = z

    y = - 2 z

    x = - 5 4 z

    Pronto, assim temos:

    - 5 z 4 , - 2 z , z

    Então os autovetores são da forma:

    v 1 = x , 0,0 , v 2 = y 3 , y , 0 e v 3 = - 5 z 4 , - 2 z , z

    Os autorvetores são diferentes.

    Passo 12

  4. Como temos que se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, então A B e B A também são inversíveis, e podemos ver no passo 1 que essas duas matrizes possuem a diagonal principal iguais.

Para calcular os autovalores de A B e B A nós usamos a expressão:

det ⁡ A B - λ I

Onde λ I é uma matriz que possui apenas a diagonal principal deferente de zero, assim quando calculamos o determinante det ⁡ A B - λ I apenas a diagonal da matriz tem elementos diferentes de zero, assim temos que os autovalores de A B e B A são os mesmos.

E como os autovalores de A B e B A são os mesmos, quando pegamos λ 1 = 1 autovalor de A B com autovetor v 1 = x , 0,0 , então λ 1 é autovalor de B A com autovetor B v , vamos fazer essa conta:

B v = 1 3 1 0 2 0 0 0 3 ⋅ x 0 0 = x + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 = x 0 0

Encontramos o autovetor v 1 = x , 0,0 de B A com autovalor λ 1 = 1 .

Agora vamos fazer da mesma forma para B A , se λ 2 = 1 é um autovalor de B A com autovetor v 1 = x , 0,0 , então λ 2 é autovalor de A B com autovetor A w :

A w = 1 2 1 0 - 1 1 0 0 - 1 ⋅ x 0 0 = 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 = x 0 0

Encontramos o autovetor v 1 = x , 0,0 de B A com autovalor λ 1 = 1 .

Resposta

  1. A B = 1 7 4 0 - 2 3 0 0 - 3 e B A = 1 - 1 3 0 - 2 2 0 0 - 3
  2. Temos que os autovalores de A B são 1 , - 2 e - 3 que são iguais aos de B A
  3. Os autovetores de A B são v 1 = x , 0,0 , v 2 = - 7 y 3 , y , 0 e v 3 = 17 z 4 , - 3 z , z e os autovetores de B A são v 1 = x , 0,0 , v 2 = y 3 , y , 0 e v 3 = - 5 z 4 , - 2 z , z
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja T : R n → R n um operador linear definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , em que 0 0 ⋯ 0 a 0 1 0 ⋯ 0 a 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 a n - 1 para a 0 , a 1 , … , a n - 1 ∈ R . Mostre que o polinômio ca
Seja p t = a 0 + a 1 t + … + a n - 1 t n - 1 + t n um polinômio Mônico de grau n . Mostre que a matriz nxn . A = 0 0 ⋯ 0 - a 0 1 0 ⋯ 0 - a 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 - a n - 1
Seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial real de dimensão finita. Então, existe um subespaço weV , T-invariante, com 1 ≤ dim ⁡ w ≤ 2 .
Seja T : V → V . Suponha que V tenha dimensão finita. Mostre que o traço de T e igual à soma das raízes do seu polinômio característico, incluindo as multiplicidades.
Sejam T , S : V → V com V de dimensão finita. Mostre que T SeS T possuem os mesmos autovalores.