Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 12
Seja um autovalor (fixo) de . Demonstre que o conjunto formado por todos os autovetores de associados a , juntamente com o vetor nulo, é um subespaço de . Este subespaço é chamado de autoespaço associado a . Em outras palavras, combinação linear de autovetores associados a um mesmo autovalor é um autovetor associado a esse mesmo autovalor.
Passo 1
E aí, pessoal! Ficaram confusos com essa questão? Eu sei, eu sei, parece bem complicada. Mas, vamos focar na última frase do enunciado: “combinação linear de autovetores associados a um mesmo autovalor é um autovetor associado a esse mesmo autovalor”. Então, vamos fazer o seguinte: tem que ter autovetores distintos, mas não necessariamente autovalores. Podemos ter mais de um autovetor associado ao mesmo autovalor. Então, digamos que temos autovetores de associados a . Lógico que para tudo fazer sentido. Assim, temos
Passo 2
Agora, vamos escrever um vetor como combinação linear dos :
Quando aplicamos no vetor , obtemos
Opa! Quer dizer então que é autovetor de com autovalor . Então, é um subespaço de chamado de autoespaço associado a .
Espero que vocês tenham gostado dessa resolução e até a próxima!
Resposta
Veja a resolução acima.