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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 9

Verifique que A^3 = overset(-)(0) , para

A = [[[0,1,0],[0,0,1],[0,0,0]]] .

Passo 1

Sabemos que A^3 é o mesmo que A xx A xx A , dessa forma, podemos aplicar as propriedades de operações com matrizes e afirmar que:

A^3 = ( A xx A ) xx A

Realizando a multiplicação (A xx A) :

A xx A = [[[0,*,0,+,1,*,0,+,0,*,0,0,*,1,+,1,*,0,+,0,*,0,0,*,0,+,1,*,1,+,0,*,0],[0,*,0,+,0,*,0,+,1,*,0,0,*,1,+,0,*,0,+,1,*,0,0,*,0,+,0,*,1,+,1,*,0],[0,*,0,+,0,*,0,+,0,*,0,0,*,1,+,0,*,0,+,0,*,0,0,*,0,+,0,*,1,+,0,*,0]]]

A xx A = [[[0,+,0,+,0,0,+,0,+,0,0,+,1,+,0],[0,+,0,+,0,0,+,0,+,0,0,+,0,+,0],[0,+,0,+,0,0,+,0,+,0,0,+,0,+,0]]]

A xx A = [[[0,0,1],[0,0,0],[0,0,0]]]

Passo 2

Em seguida, realizando a multiplicação de ( A xx A ) por A:

(A xx A) xx A = [[[0,*,0,+,0,*,0,+,1,*,0,0,*,1,+,0,*,0,+,1,*,0,0,*,0,+,0,*,1,+,1,*,0],[0,*,0,+,0,*,0,+,0,*,0,0,*,1,+,0,*,0,+,0,*,0,0,*,0,+,0,*,1,+,0,*,0],[0,*,0,+,0,*,0,+,0,*,0,0,*,1,+,0,*,0,+,0,*,0,0,*,0,+,0,*,1,+,0,*,0]]]

(A xx A) xx A = [[[0,+,0,+,0,0,+,0,+,0,0,+,0,+,0],[0,+,0,+,0,0,+,0,+,0,0,+,0,+,0],[0,+,0,+,0,0,+,0,+,0,0,+,0,+,0]]]

(A xx A) xx A = [[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]

Passo 3

Como foi visto que A^3 = ( A xx A ) xx A , e

(A xx A) xx A = [[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]

Que pode ser reescrito como (A xx A) xx A = overset(-)(0) .

Então A^3 = overset(-)(0) .

Resposta

(A xx A) xx A = [[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]

Então A^3 = overset(-)(0)

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Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 0 1 - 1 0 , então AB = BA.
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Mostre que as matrizes A =1 1 y y 1 , em que y é um número real não nulo, verificam a equação X 2 = 2X.
Sejam A, B e C matrizes nxn. b) (AB)C = C(AB)? E se AC = CA e BC = CB? Justifique.
a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0? Justifique.