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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 24b

b) Se AB = 0, então BA = 0? Justifique.

Passo 1

Podemos utilizar um contraexemplo para provar que a afirmação é incorreta.

Dadas duas matrizes:

A = [[[1,0],[0,0]]] , B = [[[0,0],[1,0]]]

A B = [[[1,0],[0,0]]] * [[[0,0],[1,0]]]

A B = [[[1,*,0,+,0,*,1,1,*,0,+,0,*,0],[0,*,0,+,0,*,1,0,*,0,+,0,*,0]]] = [[[0,0],[0,0]]]

Passo 2

Realizando a multiplicação inversa:

B A = [[[0,0],[1,0]]] * [[[1,0],[0,0]]]

B A = [[[0,*,1,+,0,*,0,0,*,0,+,0,*,0],[1,*,1,+,0,*,0,1,*,0,+,0,*,0]]] = [[[0,0],[1,0]]]

Ou seja, A B = 0 , B A != 0 .

Resposta

Não necessariamente. Podem haver casos em que A B = 0 e B A != 0 .

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