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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 25d

Para matrizes quadradas A = a i j n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal(principal) de A , ou seja, t r A = ∑ i = 1 n a i i .(c) Mostre que t r A B = t r B A . (Sugestão: Prove inicialmente para matrizes 2 x 2 )

Passo 1

Fala aee, pessoal! Tudo bem?

Vamos definir quem são as matrizes A e B :

A = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

B = b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 ⋯ b n n

Passo 2

Realizando os produtos matriciais A B e B A , temos:

A B = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 ⋯ b n n = a 11 b 11 + … + a 1 n b n 1 ⋯ a 11 b 1 n + … + a 1 n b n n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 b 11 + … + a n n b n 1 ⋯ a n 1 b 1 n + … + a n n b n n

B A = b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 ⋯ b n n a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n = b 11 a 11 + … + b 1 n a n 1 ⋯ b 11 a 1 n + … + b 1 n a n n ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 a 11 + … + b n n a n 1 ⋯ b n 1 a 1 n + … + b n n a n n

Passo 3

Logo:

O traço de A B é dado por:

t r A B = ∑ i = 1 n a i i b i i = a 11 b 11 + … + a 1 n b n 1 + … + a n 1 b 1 n + … + a n n b n n

O traço de B A é dado por:

t r B A = ∑ i = 1 n a i i b i i = b 11 a 11 + … + b 1 n a n 1 + … + b n 1 a 1 n + … + b n n a n n

Passo 4

Portanto, concluímos que:

t r A B = t r B A

a 11 b 11 + … + a 1 n b n 1 + … + a n 1 b 1 n + … + a n n b n n = b 11 a 11 + … + b 1 n a n 1 + … + b n 1 a 1 n + … + b n n a n n

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Usando a matriz α m do exercício anterior, efetue uma rotação dos eixos (mudança de coordenadas mantendo a origem fixa). Ache as novas coordenadas ( x ' , y ' , z ' ) dos pontos cujas coordenadas ( x
Usando a matriz α m do exercício anterior, efetue uma rotação dos eixos (mudança de coordenadas mantendo a origem fixa). Ache as novas coordenadas ( x ' , y ' , z ' ) dos pontos cujas coordenadas ( x
Ainda com a rotação dos eixos dada pela matriz ortogonal α m acima, quais são, nas novas coordenadas x ' , y ' , z ' , as equações dos seguintes planos? c )2 x - y = 1
Ainda com a rotação dos eixos dada pela matriz ortogonal α m acima, quais são, nas novas coordenadas x ' , y ' , z ' , as equações dos seguintes planos? d )x + y + z = 0
Usando a matriz α m do exercício anterior, efetue uma rotação dos eixos (mudança de coordenadas mantendo a origem fixa). Ache as novas coordenadas ( x ' , y ' , z ' ) dos pontos cujas coordenadas ( x