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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 23a

Sejam A, B e C matrizes nxn.

  1. ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 ? E se AB = BA? Justifique

Passo 1

Primeiro, podemos desenvolver ( A + B ) 2 como ( A + B ) ∙ ( A + B ) .

Passo 2

Pela propriedade de distribuição:

  A + B ∙ A + B = A A + A B + B A + B B ,

Que pode ser reescrito como:

A + B ∙ A + B = A 2 + A B + B A + B 2 .

Passo 3

Como AB e BA podem ter o mesmo resultado a depender se as matrizes A e B são comutativas ou não, ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 somente para AB = BA, pois, dessa forma, podemos escrever que:

A + B ∙ A + B = A 2 + A B + B A + B 2 =   A 2 + B A + B A + B 2 = A 2 + A B + A B + B 2

A + B ∙ A + B = A 2 + 2 A B + B 2 .

Resposta

A relação só é verdadeira para AB = BA.

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