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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 18b

Sejam A e B matrizes mxp e pxn, respectivamente.

b) Mostre que a i-ésima coluna do produto AB é igual ao produto A i B , em que A i = a i 1 … a i p é a i-ésima linha de A, ou seja, se A =   A 1 A 2 ⋮ A m , então

A B = A 1 A 2 ⋮ A m B = A 1 B A 2 B ⋮ A m B

Passo 1

Primeiramente, podemos usar a definição do produto matricial para realizar a multiplicação de uma matriz A, mxp, por uma matriz B, pxn.

A B =   a 11 b 11 + a 12 b 21 + … + a 1 p b p 1 a 11 b 12 + a 12 b 22 + … + a 1 p b p 2 … a 11 b 1 n + a 12 b 2 n + … + a 1 p b p n a 21 b 11 + a 22 b 21 + … + a 2 p b p 1 a 21 b 12 + a 22 b 22 + … + a 2 p b p 2 … a 21 b 1 n + a 22 b 2 n + … + a 2 p b p n a m 1 b 11 + a m 2 b 21 + … + a m p b p 1                                                 ⋮                                         … a m 1 b 12 + a m 2 b 22 + … + a m p b p 2 … ⋮ a m 1 b 1 n + a m 2 b 2 n + … + a m p b p n

Passo 2

Agora, sabendo que cada coluna de A pode ser escrita da forma A i =   a i 1 … a i p , ou seja:

A 1 =   a 11 … a 1 p ,

A 2 =   a 21 … a 2 p ,

Até

A m =   a m 1 … a m p ,

Compreendemos que A pode ser escrita de modo que A =   A 1 A 2 ⋮ A p .

Passo 3

Por fim, realizando a multiplicação de cada linha de A pela matriz B, obtemos:

A 1 B A 2 B ⋮ A m B

Mas sabemos que A 1 B é equivalente ao produto da matriz A 1 pela matriz B, ou seja:

A 1 B =   a 11 b 11 + a 12 b 21 + … + a 1 p b p 1 … a 11 b 1 n + a 12 b 2 n + … + a 1 p b p n .

Dessa forma, a matriz composta pelos produtos A i B , i = 1, 2, 3... m, é dada por:

a 11 b 11 + a 12 b 21 + … + a 1 p b p 1 a 11 b 12 + a 12 b 22 + … + a 1 p b p 2 … a 11 b 1 n + a 12 b 2 n + … + a 1 p b p n a 21 b 11 + a 22 b 21 + … + a 2 p b p 1 a 21 b 12 + a 22 b 22 + … + a 2 p b p 2 … a 21 b 1 n + a 22 b 2 n + … + a 2 p b p n a m 1 b 11 + a m 2 b 21 + … + a m p b p 1                                                 ⋮                                         … a m 1 b 12 + a m 2 b 22 + … + a m p b p 2 … ⋮ a m 1 b 1 n + a m 2 b 2 n + … + a m p b p n

A qual é a mesma matriz obtida pelo produto AB.

Resposta

A B = A 1 A 2 ⋮ A m B = A 1 B A 2 B ⋮ A m B =   a 11 b 11 + a 12 b 21 + … + a 1 p b p 1 a 11 b 12 + a 12 b 22 + … + a 1 p b p 2 … a 11 b 1 n + a 12 b 2 n + … + a 1 p b p n a 21 b 11 + a 22 b 21 + … + a 2 p b p 1 a 21 b 12 + a 22 b 22 + … + a 2 p b p 2 … a 21 b 1 n + a 22 b 2 n + … + a 2 p b p n a m 1 b 11 + a m 2 b 21 + … + a m p b p 1                                                 ⋮                                         … a m 1 b 12 + a m 2 b 22 + … + a m p b p 2 … ⋮ a m 1 b 1 n + a m 2 b 2 n + … + a m p b p n

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