Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 21
Mostre que a matriz identidade é a única matriz tal que para qualquer A, nxn.
Passo 1
Primeiramente, sabemos que a matriz identidade é uma matriz quadrada, nxn, tal que todos os números da diagonal principal são iguais a 1.
Realizando a multiplicação de uma matriz A quadrada por outra matriz quadrada com elementos desconhecidos, temos que:
Passo 2
Agora, realizando o produto JA, obtemos:
Passo 3
Igualando AJ e A:
Logo:
Ou seja, e , para n = 2, 3, 4, ..., n.
Da mesma forma:
Ou seja, e para todo n diferente de 2.
Assim, percebe-se que a igualdade valerá apenas para e , para m diferente de n.
Na igualdade de JA e A, obtemos o mesmo resultado:
Ou seja, e , para n = 2, 3, 4, ..., n. E equivalente para os demais elementos das matrizes.
Resposta
Assim, a matriz J deve, necessariamente, ser uma matriz identidade.