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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 1a

Sejam A = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) , B = ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) , C = ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) , a = 4 e b = - 7 , mostre que A + (B + C) = (A + B) + C

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que A + (B + C) = (A + B) + C . Para isso, vamos resolver os dois lados da equação e comparar para ver se são, de fato, iguais.

Assim, montemos o primeiro lado:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) + (([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) + ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

E o segundo:

(([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) + ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]])) + ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

Passo 2

Resolvendo o primeiro lado, temos:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) + (([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) + ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) + ([[8,+,0,-,3,+,(,-,2,),-,5,+,3],[0,+,1,1,+,7,2,+,4],[4,+,3,-,7,+,5,6,+,9]])

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) + ([[8,-,5,-,2],[1,8,6],[7,-,2,15]])

([[2,+,8,-,5,+,(,-,1,),3,+,(,-,2,)],[0,+,1,4,+,8,5,+,6],[-,2,+,7,1,+,(,-,2,),4,+,15]])

([[10,-,6,1],[1,12,11],[5,-,1,19]])

Passo 3

Resolvendo o segundo lado da equação:

(([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) + ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]])) + ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

([[2,+,8,-,1,+,(,-,3,),3,+,(,-,5,)],[0,+,0,4,+,1,5,+,2],[-,2,+,4,1,+,(,-,7,),4,+,6]]) + ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

([[10,-,4,-,2],[0,5,7],[2,-,6,10]]) + ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

([[10,+,0,-,4,+,(,-,2,),-,2,+,3],[0,+,1,5,+,7,7,+,4],[2,+,3,-,6,+,5,10,+,9]])

([[10,-,6,1],[1,12,11],[5,-,1,19]])

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que A + (B + C) = (A + B) + C

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