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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 13a

Em cada parte, resolva a equação matricial para X .

  1. X . ([[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]]) = ([[1,2,0],[-,3,1,5]])

Passo 1

Nessa questão, temos algumas estratégias. Como a matriz resultante dessa equação é uma matriz 2 xx 3 , não é muito prudente usarmos de uma matriz generalizada de incógnitas. Então, para essa equação, vamo aplicar um pouco de manipulação algébrica e chegar em:

X . ([[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]]) = ([[1,2,0],[-,3,1,5]])

X = ([[1,2,0],[-,3,1,5]]) ([[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]])^(- 1)

Nós podemos fazer isso pois a matriz ([[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]]) é inversível uma vez que seu determinante é diferente de zero.

|[[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]]| = (- 1) |[[1,0],[1,-,1]]| - 0 |[[1,0],[3,-,1]]| + ( 1 ) |[[1,1],[3,1]]|

|[[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]]| = (- 1) ( - 1 ) - 0 ( - 1 ) + ( 1 ) ( - 2 )

|[[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]]| = 1 - 2 = - 1

Passo 2

Agora, vamos inverter a matriz ([[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]]) .

Para isso, vamos usar de uma matriz lateral, ou ajunta, que tem a diagonal principal com entradas iguais a 1 e as restantes nulas e escaloná-la:

([[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]],[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]) underset([[L_2 -> L_2 + L_1],[L_3 -> L_3 + 3 L_1]])(->) ([[-,1,0,1],[0,1,1],[0,1,2]],[[1,0,0],[1,1,0],[3,0,1]])

([[-,1,0,1],[0,1,1],[0,1,2]],[[1,0,0],[1,1,0],[3,0,1]]) underset([[L_1 -> ( - 1 ) L_1],[L_3 -> L_3 - L_1]])(->) ([[1,0,-,1],[0,1,1],[0,0,1]],[[-,1,0,0],[1,1,0],[2,-,1,1]])

([[1,0,-,1],[0,1,1],[0,0,1]],[[-,1,0,0],[1,1,0],[2,-,1,1]]) underset([[L_1 -> L_1 + L_3],[L_2 -> L_2 - L_3]])(->) ([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[-,1,-,1,1],[-,1,2,-,1],[2,-,1,1]])

Logo:

([[-,1,0,1],[1,1,0],[3,1,-,1]])^(- 1) = ([[-,1,-,1,1],[-,1,2,-,1],[2,-,1,1]])

Passo 3

Agora, vamos realizar o produto ([[1,2,0],[-,3,1,5]]) ([[-,1,-,1,1],[-,1,2,-,1],[2,-,1,1]]) para acharmos o valor de X .

([[1,2,0],[-,3,1,5]]) ([[-,1,-,1,1],[-,1,2,-,1],[2,-,1,1]]) =

([[-,1,3,-,1],[6,0,1]])

Logo, X = ([[-,1,3,-,1],[6,0,1]])

Resposta

X = ([[-,1,3,-,1],[6,0,1]])

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