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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 3

A matriz 2 - 4 0 - 4 0 1 1 3 - 1 6 - 1 3 representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana pra resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.

Passo 1

O enunciado já determinou qual método para resolução do sistema vamos utilizar. Como o sistema 2 - 4 0 - 4 0 1 1 3 - 1 6 - 1 3 representa uma matriz aumentada, temos que seu sistema de equações é:

2 x 1 - 4 x 2 + 1 x 3 = 6 - 4 x 1 + 0 x 2 + 3 x 3 = - 1 0 x 1 + 1 x 2 - 1 x 3 = 3

2 x 1 - 4 x 2 + x 3 = 6 - 4 x 1 + 3 x 3 = - 1 x 2 - x 3 = 3

Vamos descrevê-lo assim para sabermos quais variáveis estamos utilizando e quais podemos usar de parâmetro.

Passo 2

Para resolvermos esse sistema, vamos voltar à sua matriz ampliada e utilizar da eliminação gaussiana

2 - 4 0 - 4 0 1 1 3 - 1 6 - 1 3     → L 1 → 1 2 L 1       1 - 4 0 - 2 0 1 1 / 2 3 - 1 3 - 1 3

1 - 4 0 - 2 0 1 1 / 2 3 - 1 3 - 1 3 → L 2 → L 2 + 2 L 1 1 0 0 - 2 - 8 1 1 / 2 5 - 1 3 1 1 3

1 0 0 - 2 - 8 1 1 / 2 5 - 1 3 11 3 → L 2 → - 1 8 L 2 1 0 0 - 2 1 1 1 / 2 - 5 / 8 - 1 3 - 11 / 8 3

1 0 0 - 2 1 1 1 / 2 - 5 / 8 - 1 3 - 11 / 8 3 → L 3 → L 3 - L 2 1 0 0 - 2 1 0 1 / 2 - 5 / 8 - 3 / 8 3 - 11 / 8 35 / 8

1 0 0 - 2 1 0 1 / 2 - 5 / 8 - 3 / 8 3 - 11 / 8 35 / 8 → L 3 → - 8 3 L 3 1 0 0 - 2 1 0 1 / 2 - 5 / 8 1 3 - 11 / 8 - 35 / 3

Passo 3

Vamos reescrever a matriz 1 0 0 - 2 1 0 1 / 2 - 5 / 8 1 3 - 11 / 8 - 35 / 3 como um sistema linear

1 x 1 - 2 x 2 + 1 2 x 3 = 3 0 x 1 + 1 x 2 - 5 8 x 3 = - 11 8 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 = - 35 3

x 1 - 2 x 2 + 1 2 x 3 = 3 x 2 - 5 8 x 3 = - 11 8 x 3 = - 35 3

Quando olhamos o sistema resultante da matriz escalonada, vemos que são três equações e três incógnitas. Portanto, não precisaremos escolher uma incógnita como parâmetro (parametrizar).

Passo 4

Vamos agora substituir o valor encontrado na terceira equação nas demais e encontrar a solução do sistema.

x 3 = - 35 3

Substituindo x 3 na segunda equação:

x 2 - 5 8 - 35 3 = - 11 8

x 2 + 175 24 = - 11 8

x 2 = - 11 8 - 175 24

x 2 = - 33 24 - 175 24

x 2 = - 208 24 → x 2 = - 26 3

Substituindo x 3 e x 2 na primeira equação:

x 1 - 2 - 26 3 + 1 2 - 35 3 = 3

x 1 + 52 3 - 35 6 = 3

x 1 + 104 6 - 35 6 = 3

x 1 + 89 6 = 3

x 1 = 3 - 89 6

x 1 = 18 6 - 89 6

x 1 = - 71 6   → x 1 = - 17 2

Resposta

Portanto, a solução é dada por: x 1 = - 17 2 x 2 = - 26 3 x 3 = - 35 3

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