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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.7 - Ex. 32

32. Seja A uma matriz simétrica n x n..

(a) Mostre que A 2 é simétrica

(b) Mostre que 2 A 2 - 3 A + I é simétrica.

Passo 1

a)

Nós sabemos pelo Teorema 1.7.3 que:

“O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e só se, as matrizes comutam”.

Só lembrando quando a gente diz que duas matrizes comutam, significa que não importa a ordem em que elas são multiplicadas a gente tem a mesma resposta:

A B = B A

Logo duas matrizes iguais sempre comutam, pois:

A A = A A

Então, pelo teorema 1.7.3, podemos afirmar que A 2 é simétrica.

Passo 2

b)

Precisamos mostrar que 2 A 2 - 3 A + I é simétrica. E já sabemos que A 2 e A são simétricas, então vamos analisar esses termos.

Pelo Teorema 1.7.2 (c), sabemos que quando multiplicamos uma constante por uma matriz simétrica, obtemos uma matriz simétrica, então 2 A 2 e 3 ( A ) são simétricas.

Pelo Teorema 1.7.2 (b), sabemos que quando somamos ou subtraímos duas matrizes simétricas, obtemos outra matriz simétrica, então 2 A 2 - 3 A é simétrica.

E como a matriz identidade é simétrica, podemos concluir que 2 A 2 - 3 A + I também é simétrica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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