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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 11

Em cada parte, seja T : R 3 → R 3 a multiplicação por A . Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre.

T - 1 x 1 x 2 x 3

  1. A = 1 5 2 1 2 1 - 1 1 0
  2. A = 1 4 - 1 1 2 1 - 1 1 0
  3. A = 1 0 1 1 1 1 1 1 0
  4. A = 1 - 1 1 0 2 - 1 2 3 0

Passo 1

Show de bola então, pra saber se a matriz possui inversa ou não antes de calcular ela, basta a gente saber se ela é quadrada e se ela tem n u l A = 0 , ou seja, se a dimensão do núcleo for 0 , nossa matriz é invertível.

Passo 2

Na letra (a), temos

A = 1 5 2 1 2 1 - 1 1 0

Escalonando a matriz

A = 1 5 2 1 2 1 - 1 1 0 ⇒   L 2 = L 2 - L 1 L 3 = L 3 + L 1 = 1 5 2 0 - 3 - 1 0 6 2  

E olhando mais de perto ali, a gente pode ver que a linha 3 é - 2 vezes a linha 2, ou seja, L 2 = - 2 L 1 , logo n u l A ≠ 0 , e nossa matriz não é invertível.

Passo 3

Na letra (b), temos

A = 1 4 - 1 1 2 1 - 1 1 0

Escalonando

A = 1 4 - 1 1 2 1 - 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1   ⇒   L 2 = L 2 - L 1 L 3 = L 3 + L 1 = 1 4 - 1 0 - 2 2 0 5 - 1 1 0 0 - 1 1 0 1 0 1 ⇒

⇒   L 2 = - 1 2 L 2   = 1 4 - 1 0 1 - 1 0 5 - 1 1 0 0 1 2 - 1 2 0 1 0 1 ⇒

⇒     L 3 = L 3 - 5 L 2 = 1 4 - 1 0 1 - 1 0 0 4 1 0 0 1 2 - 1 2 0 - 3 2 5 2 1 ⇒     L 3 = 1 4 L 3 = 1 4 - 1 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 1 2 - 1 2 0 - 3 8 5 8 1 4 ⇒

⇒   L 1 = L 1 + L 3 L 2 = L 2 + L 3   = 1 4 0 0 1 0 0 0 1 5 8 5 8 1 4 1 8 1 8 1 4 - 3 8 5 8 1 4 ⇒   L 1 = L 1 - 4 L 2     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 8 1 8 - 3 4 1 8 1 8 1 4 - 3 8 5 8 1 4

Portanto a matriz é invertível e

A - 1 = 1 8 1 8 - 3 4 1 8 1 8 1 4 - 3 8 5 8 1 4

T - 1 x 1 x 2 x 3 = 1 8 1 8 - 3 4 1 8 1 8 1 4 - 3 8 5 8 1 4 x 1 x 2 x 3 = 1 8 x 1 1 8 x 2 - 3 4 x 3 1 8 x 1 1 8 x 2 1 4 x 3 - 3 8 x 1 5 8 x 2 1 4 x 3

Passo 4

Na letra (c) a matriz dada é

A = 1 0 1 0 1 1 1 1 0

Escalonando

A = 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1   ⇒     L 3 = L 3 - L 1 = 1 0 1 0 1 1 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 - 1 0 1 ⇒

⇒     L 3 = L 3 - L 2 = 1 0 1 0 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 0 - 1 - 1 1 ⇒

⇒   L 1 = 2 L 1 + L 3     = 2 0 0 0 1 1 0 0 - 2 1 - 1 1 0 1 0 - 1 - 1 1 ⇒

⇒     L 2 = 2 L 2 + L 3     = 2 0 0 0 2 0 0 0 - 2 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 ⇒

⇒ L 1 = 1 2 L 1     L 2 = 1 2 L 2     L 3 = - 1 2 L 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 - 1 2

Portanto a matriz é invertível e

A - 1 = 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 - 1 2

T - 1 x 1 x 2 x 3 = 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 - 1 2 x 1 x 2 x 3 = 1 2 x 1 - 1 2 x 2 1 2 x 3 - 1 2 x 1 1 2 x 2 - 1 2 x 3 1 2 x 1 1 2 x 2 - 1 2 x 3

Passo 5

E agora na letra (d), a matriz é

A = 1 - 1 1 0 2 - 1 2 3 0

Escalonando

A = 1 - 1 1 0 2 - 1 2 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1   ⇒     L 3 = L 3 - 2 L 1 = 1 - 1 1 0 2 - 1 0 5 - 2 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1 ⇒

⇒     L 3 = L 3 - 2 L 2 = 1 - 1 1 0 2 - 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 - 2 - 2 1 ⇒

⇒       L 2 = L 2 - 2 L 3   = 1 - 1 1 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 4 5 - 2 - 2 - 2 1 ⇒

⇒   L 1 = L 1 + L 3     = 1 0 1 0 0 - 1 0 1 0 - 1 - 2 1 4 5 - 2 - 2 - 2 1 ⇒

⇒   L 1 = L 1 + L 2     = 1 0 0 0 0 - 1 0 1 0 3 3 - 1 4 5 - 2 - 2 - 2 1 ⇒

⇒     L 2 ⇔ L 3     = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 3 3 - 1 - 2 - 2 1 4 5 - 2 ⇒

⇒           L 3 = - L 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 - 1 - 2 - 2 1 - 4 - 5 2 ⇒

Portanto a matriz é invertível e

A - 1 = 3 3 - 1 - 2 - 2 1 - 4 - 5 2

T - 1 x 1 x 2 x 3 = 3 3 - 1 - 2 - 2 1 - 4 - 5 2 x 1 x 2 x 3 = 3 x 1 3 x 2 - x 3 - 2 x 1 - 2 x 2 x 3 - 4 x 1 - 5 x 2 2 x 3

Resposta

  1. Não é invertível.
  2. T - 1 x 1 x 2 x 3 = 1 8 x 1 1 8 x 2 - 3 4 x 3 1 8 x 1 1 8 x 2 1 4 x 3 - 3 8 x 1 5 8 x 2 1 4 x 3
  3. T - 1 x 1 x 2 x 3 = 1 2 x 1 - 1 2 x 2 1 2 x 3 - 1 2 x 1 1 2 x 2 - 1 2 x 3 1 2 x 1 1 2 x 2 - 1 2 x 3
  4. T - 1 x 1 x 2 x 3 = 3 x 1 3 x 2 - x 3 - 2 x 1 - 2 x 2 x 3 - 4 x 1 - 5 x 2 2 x 3
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