Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 16
Sejam , e as reflexões nos planos , respectivamente. Verifique a Fórmula (8) com esses operadores.
Passo 1
A Fórmula (8) diz pra gente que seja , e operadores matriciais em podemos escrever a composição
Ou alternativamente
Passo 2
E quem são essas transformações né?! Bem, a gente sabe que , e são reflexões nos planos , respectivamente, então
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E inversa será dada da mesma maneira
Passo 3
Então pra verificarmos a igualdade, precisamos encontrar o outro lado da composição, , como , e são reflexões, a inversa delas, são elas mesmo, já que se refletirmos de novo, vamos voltar no mesmo vetor
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Portanto
Resposta
Demonstração.
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T 1 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo y . T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação anti-horária pelo ângulo θ . T 1 : R 3
Sejam T : R 2 → R 2 o operador linear dado pela fórmula T x ,y = ( x + k y ,- y ) . Mostre que T é injetor e que T - 1 = T , qualquer que seja o valor real de k .
Sejam T 1 : P 2 → P 3 e T 2 : P 3 → P 3 os operadores lineares dados pelas fórmulas T 1 p x = x p ( x ) eT 2 p x = p x + 1 Encontre fórmulas para T 1 - 1 x ,y , T 2 - 1 x ,y , T 2 ∘ T 1 - 1 ( x ,y ) V
Prove: se T : V → W for uma transformação linear injetora, então T - 1 : I m T → V é uma transformação linear injetora.
Seja T : R n → R n o operador linear definido pela fórmula T x 1 ,x 2 ,... ,x n = a 1 x 1 ,a 2 x 2 ,... ,a n x n Em que a 1 ,a 2 ,... ,a n são constantes.Sob quais condições T terá uma inversa?Supondo